《数列》全章导学案
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鸡西市第十九中学学案
2015年( )月( )日 班级 姓名
2.1 数列概念与简单表示法(一)
学习
目标 1.理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型.
2.探索并掌握数列的几种简单表示法.
3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
重点
难点 1.在理解数列概念时,应区分数列与集合两个不同的概念.
2.类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法.
3.由数列的前几项,写出数列的一个通项公式是本节的难点之一,突破难点的方法:把序号标在项的旁边,观察项与序号的关系,从而写出通项公式.
先看下面的几组例子:
(1)全体自然数按从小到大排成一列数:0,1,2,3,4,…;
(2)正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数:1,12,13,14,15;
(3)π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排成一列数:3,3.1,3.14,3.141,…;
(4)无穷多个1排成一列数:1,1,1,1,1,…;
(5)当n分别取1,2,3,4,5,…时,(-1)n的值排成一列数:-1,1,-1,1,-1,….
请你根据上面的例子尝试给数列下个定义.
【数列的概念】
按照一定顺序排列的一列数称为 ,数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,……,排在第n位的数称为这个数列的第 项.
探究 数列中的项与数集中的元素进行对比,数列中的项具有怎样的性质?
(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);
(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
【数列的几种表示方法】
数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为 .
项数有限的数列叫做 数列,项数无限的数列叫做_____数列.
除了列举法外,数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示.
探究 下面是用列举法给出的数列,请你根据题目要求补充完整.
(1)数列:1,3,5,7,9,…
①用公式法表示:an= ;
②用列表法表示:
n 1 2 3 4 5 …
an …
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):
(2)数列:1,12,13,14,15,…
①用公式法表示:an= .
②用列表法表示:
n 1 2 3 4 5 …
an 1 12
13
14
15
…
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):
【数列的通项公式】
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 公式.
和函数不一定有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.一个数列的通项公式不唯一,可以有不同的表现形式,an=(-1)n-1可以写成an=(-1)n+1,还可以写成
an=1(n为奇数),-1(n为偶数).
探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察数列的特征,并进行联想、转化、归纳,同时要熟悉一些常见数列的通项公式.下表中的一些基本数列,你能准确快速地写出它们的通项公式吗?
数列 通项公式
-1,1,-1,1,… an=
1,2,3,4,… an=
1,3,5,7,… an=
2,4,6,8,… an=
1,2,4,8,… an=
1,4,9,16,… an=
1,12,13,14,…
an=
例1 根据数列的通项公式,分别写出数列的前5项与第2 012项.
(1)an=cos nπ2; (2)bn=11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1).
小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项,要注意n=1,2,3,….如果数列的通项公式较为复杂,应考虑运算化简后再求值.
训练1 根据下面数列的通项公式,写出它的前4项.
(1)an=2n+1; (2)bn=-1+(-1)n2.
例2 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)1,-3,5,-7,9,…; (2)12,2,92,8,252,…; (3)9,99,999,9 999,…;(4)0,1,0,1,….
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
训练2 写出下列数列的一个通项公式:
(1)212,414,618,8116,…; (2)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…; (3)-12,16,-112,120,….
例3 已知数列{an}的通项公式an=(-1)n(n+1)(2n-1)(2n+1).
(1)写出它的第10项; (2)判断233是不是该数列中的项.
小结 判断某数列是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求n的值,若存在正整数n,则说明该数是数列中的项,否则就不是该数列中的项.
训练3 已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+2)(n∈N*),那么1120是这个数列的第______项.
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