《等差数列、等比数列的综合应用》教案

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约5900字。

  《等差数列、等比数列的综合应用》教案
  一、教学内容:
  必修5:等差数列、等比数列的综合应用
  二、教学目标
  1、熟练地掌握等差、等比数列的有关知识及其性质,并利用这些知识解决有关数列的综合性问题。
  2、利用等差数列、等比数列知识建立实际问题的数学模型。
  3、充分利用方程的数学思想、函数的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想等解决数列的综合问题。
  三、知识要点分析
  1、等差数列、等比数列有关知识的类比与总结
  (1)等差数列、等比数列的定义: (d为常数) ( )
  (2)等差数列、等比数列的通项公式: (等差数列), (等比数列)
  (3)等差数列、等比数列的中项: ,(等差),
  (4)等差数列、等比数列的前n项和公式:
  ,   
  (5)等差数列与等比数列的性质比较:
  (a)数列 , 成等差数列,则数列 成等差数列。数列 成等比数列,则数列 成等比数列
  (b)数列 成等差数列且m+n=p+q,则 ,数列 成等比数列且m+n=p+q,则 (c) 是等差数列 的前n项和,则 成等差数列,等比数列也有类似的性质 
  (d)数列 分别成等差、等比数列,则数列 分别成等差、等比数列。
  2、建立等差等比数列模型解决实际问题(等差、等比数列的应用)
  (1)解答数列实际问题的基本步骤:审题;建模(建立数列模型,分清是等差还是等比数列);求解;还原。
  (2)常见的类型:(a)等差模型:在实际问题中,若增加或减少的是固定的量,该模型是等差模型
  (b)等比模型:在实际问题中,如果增加或减少的量是固定的百分数,则该模型是等比模型
  (c)混合模型:在实际问题中,涉及等差等比数列知识的则是数列的混合模型。
  (d)递推模型:由已知找出数列的递推关系,转化为等差、等比求解。
  【典型例题】
  考点一:等差数列、等比数列的基本知识的综合运用
  例1:设数列 是各项都是正数的数列,且对任意的正整数n,都有 成等差数列,
  成等比数列。求证:
  【思路分析】要证明的结论与数列 无关,故可由已知条件推出数列 是等差数列,然后利用等差数列的性质证明。
  解:由等差中项、等比中项的定义知: ,由(2)得:
  故有 把 的表达式代入(1)得:
  ,即数列 是等差数列。 
  故有:
  。故结论成立

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