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　　双曲线知识梳理及考点分析例题精讲
　　1．双曲线的概念
　　我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于  |F1F2| )的点集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫焦距.
　　集合P＝{M|||FM1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
　　(1)当   a<c 时，P点的轨迹是  双曲线      ；
　　(2)当  a＝c 时，P点的轨迹是   两条射线  ；
　　(3)当  a>c 时，P点 不存在．
　　2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)
　　标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
　　y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
　　图形
　　性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
　　对称性 对称轴: 坐标轴 　对称中心： 原点 
　　顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
　　渐近线 y＝  ±bax  
　　y＝  ±abx   
　　离心率 e＝ ca  ，e∈(1，＋∞)，其中c＝  a2＋b2      
　　性质 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴 ，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴 ，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
　　a、b、c
　　的关系 c2＝ a2＋b2  (c>a>0，c>b>0)
　　3.基础三角形
　　如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝ b ，|OB|＝c，tan∠AOB＝ba，
　　△OF2D中，|F2D|＝ b .
　　4、等轴双曲线
　　等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝  ，渐近线方程为       .
　　案例分析：
　　考点一、双曲线的定义
　　例1、若点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0且为常数)为两个不同的定点，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a
　　(2a≥0且a为常数)．求动点M的轨迹．
　　分析：要紧扣双曲线的定义，注意题目中的两个字母c，a的关系，根据不同的大小关系分类讨论．
　　解：若2a＞2c＞0，则点M的轨迹不存在．
　　若2a＝2c＞0，则点M的轨迹是以点F2为端点，且与x轴正方向同向的射线，方程为y＝0(x≥c)．
　　若0＜2a＜2c，则点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，其方程为x2a2－y2c2－a2＝1(x≥a)．
　　若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，方程为x＝0．
　　变式1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)．
　　16.双曲线        B．双曲线的一支   C．两条射线      D．一条射线
　　解析：依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线．
　　变式2．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹分别是(　　)．
　　A．双曲线和一条直线         B．双曲线和一条射线
　　C．双曲线的一支和一条射线   D．双曲线的一支和一条直线