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共16题，约1570字。

　　2011年全国高中数学联赛
　　四川初赛试题详细解答
　　一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
　　1、双曲线 的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中 、 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率 等于（       ）．
　　A、        B、        C、         D、
　　解：由题意得 ，解得 ． 故答案选B．
　　2、已知三次函数 ， ),
　　命题 ： 是 上的单调函数；
　　命题 ： 的图像与 轴恰有一个交点．
　　则 是 的（    ）
　　A、充分但不必要条件          B、必要但不充分条件
　　C、充要条件                  D、既不充分也不必要条件
　　解：选A．
　　3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为 ，则随机变量 的数学期望 的值为（      ）
　　A、        B、         C、        D、1
　　解： ,  , ,
　　于是 . 故答案选 ．
　　4、函数 的最大值为（    ）
　　A、           B、3         C、            D、 
　　解：法一： 的定义域为 ，
　　由 ，解得 ．
　　因为 ， ， ，于是 ．
　　故答案选C．
　　法二： 的定义域为 ，
　　当且仅当 ，即 时， 取到最大值 ．故答案选C．
　　5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且 ，
　　则线段MN的长的取值范围是
　　解：过点M作MH//BC交AB于H，则 ，
　　又AM=FN，AC=FB，∴  ，∴NH//AF，
　　∴NH⊥AB，MH⊥AB，∴∠MHN=60°．
　　设AH=x(0≤x≤2)，则MH=x， ，
　　∴  
　　∴  ．选答案选B．
　　6、设数列 为等差数列，数列 满足： ， ，
　　，……，若  ，则数列 的公差 为（    ）
　　A、       B、1      C、2         D、4
　　解： 
　　于是 ，解得 ．故答案选D．
　　二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
　　7、已知实数 满足 ，则 的取值范围是            ．
　　解：因为 ，
　　等号成立当且仅当 ，即 ．故答案填 ．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
　　8、设平面内的两个非零向量 与 相互垂直，且 ，
　　则使得向量 与 互相垂直的所有实数 之和为        ．
　　解：由于 =  ，
　　即 =0，
　　所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 之和为1．故答案填1．
　　9、记实数等比数列 的前 项和为 ，若 ，则          ．
　　解：记 ， ， ，
　　设 为 的公比，则 构成以 为公比的等比数列，
　　于是
　　即 ，解得 或 （舍去），
　　故 ．故答案填150.
　　10、设 为实数，定义 为不小于 的最小整数，例如 ， ．
　　关于实数 的方程 的全部实根之和等于         ．
　　解：设 ，则 ， ，
　　于是原方程等价于 ，即 ，
　　从而 ，即 ．
　　相应的 为 ．于是所有实根之和为 ．故答案填 ．
　　11、已知 ，其中 为整数，则        ．
　　解：由条件 知 ，
　　于是 ，
　　故  ．
　　故答案填 ．
　　12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为            ．
　　解：如图，因为SA=SB=SC，所以S在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即AB的中点H，同理O点在平面ABC上的射影也是△ABC的外心H，即在等边△SAB中，求OH的长，其中OA=OB=OS．
　　显然， ．故答案填 ．
　　三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
　　13、已知 ，若函数 的最大值为 ，求 的最小值．
　　解：令 ，则 ，                                 （5分）
　　∴ ，
　　∴当 时， 有最大值 ，即 ．                （10分）
　　∴ ，                                 （15分）
　　等号当且仅当 时成立，
　　∴当 时， 有最小值10．                                      （20分）
　　14、已知函数 在 有最大值5，
　　求实数 的值．
　　解：
　　（5分）
　　令 ，
　　则 ，从而  （10分）
　　令 ，由题意知 在 有最大值5.
　　当 时， 在 时有最大值5，故 符合条件；    （15分）
　　当 时， ，矛盾！
　　当 时， ，矛盾！
　　综上所述，所求的实数 ．                                           （20分）
　　15、抛物线 与过点 的直线 交于 、 两点．
　　（I）求直线 的斜率 的取值范围；
　　(II) 求在线段 上满足条件 的点 的轨迹方程．
　　解：（I）直线 的方程为 ，与抛物线方程 联立
　　得 ，消去 得 ，即 ，
　　由 ，解得 或 ．           （5分）
　　（II）设 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ，
　　则 ， ，
　　又 、 、 都在直线 上，所以有 ， ， ，
　　由 得 
　　化简得                                      （10分）
　　又 ，点 在线段 上，
　　所以 同号．则
　　因此        ①，
　　②，
　　由①得 代入②得 ,即 ，  （15分）
　　又因为 或 ，所以 的取值范围是
　　且 ，
　　因此点 的轨迹方程是 （ 且 ）． （20分）
　　16、已知 为实数，数列 的前 项和为 ，满足： ，
　　且 对任何的正整数 恒成立．
　　求证：当 取到最大值时，对任何正整数 都有 ．
　　证明：当 时，由 得 ，
　　当 时， ， ，
　　∴ ，即 ，         （5分）
　　∴
　　∴ ，
　　即                              （10分）
　　由条件知， 对任何正整数 恒成立，
　　即 对任何正整数 恒成立，
　　由于 在 时取最大值 ，
　　于是 ，解得 ．
　　由上式知道 的最大值为 ．                                   （15分）
　　当 时， ，
　　于是
　　，
　　所以 
　　．                  （20分）
　　2011年全国高中数学联赛
　　四川初赛试题详细解答
　　一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
　　1、双曲线 的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中 、 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率 等于（       ）．
　　A、        B、        C、         D、
　　解：由题意得 ，解得 ． 故答案选B．
　　2、已知三次函数 ， ),
　　命题 ： 是 上的单调函数；
　　命题 ： 的图像与 轴恰有一个交点．
　　则 是 的（    ）
　　A、充分但不必要条件          B、必要但不充分条件
　　C、充要条件                  D、既不充分也不必要条件
　　解：选A．
　　3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为 ，则随机变量 的数学期望 的值为（      ）
　　A、        B、         C、        D、1
　　解： ,  , ,
　　于是 . 故答案选 ．
　　4、函数 的最大值为（    ）
　　A、           B、3         C、            D、 
　　解：法一： 的定义域为 ，
　　由 ，解得 ．
　　因为 ， ， ，于是 ．
　　故答案选C．
　　法二： 的定义域为 ，
　　当且仅当 ，即 时， 取到最大值 ．故答案选C．