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约2650字。

　　2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷
　　一  试
　　一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
　　1．已知数列{an}、{bn}满足an＝22n+35，bn＝1nlog2(a1a2a3…an)，n∈N*，则数列{bn}的通项公式是              ．
　　答案：bn＝n＋45，n∈N*    
　　简解：由an＝22n+35，得a1a2a3…an＝22(1＋2＋…＋n)＋3n5＝2n(n＋4)5，n∈N*．
　　所以bn＝1n×n(n＋4)5＝n＋45，n∈N*．
　　2．已知两点M(0，2)、N(－3，6)到直线l的距离分别为1和4，则满足条件的直线l的条数是            ．
　　答案：3
　　简解：易得MN＝5，以点M为圆心，半径1为的圆与以点N为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l有3条．
　　3．设函数f(x)＝ax2＋x．已知f(3)＜f(4)，且当n≥8，n∈N*时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，则实数a的取值范围是               ．
　　答案：(－17，－117)
　　简解：(方法一) 因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，此时f(n)＞f(n＋1)恒
　　成立等价于f(8)＞f(9)，即64a＋8＞81a＋9，解得a＜－117．
　　因为f(3)＜f(4)，所以9a＋3＜16a＋4，解得a＞－17．即a∈(－17，－117)．
　　(方法二)考察二次函数f(x)＝ax2＋x的对称轴和开口方向．
　　因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，且－12a＜172，解得a＜－117．
　　因为f(3)＜f(4)，所以－12a＞72，解得a＞－17．即a∈(－17，－117)．
　　4．已知ABCD－A1B1C1D1是边长为3的正方体，
　　点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的
　　点，AP＝AQ＝AR＝1，则四面体C1PQR的
　　体积为            ．
　　答案：43
　　简解：因为C1C⊥面ABCD，所以C1C⊥BD．
　　又因为AC⊥BD，
　　所以BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD．
　　又PQ∥BD，所以AC1⊥PQ．
　　同理AC1⊥QR．所以AC1⊥面PQR．
　　因为AP＝AQ＝AR＝1，所以PQ＝QR＝RP＝2．
　　因为AC1＝33，且VA－PQR ＝13•12•12•1＝16，所以
　　VC1－PQR ＝13•34•(2)2•33－VA－PQR ＝43．
　　5．数列 满足 ， N*．记Tn＝a1a2…an，则T2010等于     ．
　　答案：－6
　　简解：易得：a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a1a2 a3a4＝1．
　　又a5＝2＝a1，由归纳法易知an＋4＝an，n∈N*．
　　所以T2010＝T2008×a2009×a2010＝a1a2＝－6．
　　6．骰子是一个立方体， 个面上分别刻有 、 、 、 、 、 点. 现有质地均匀的
　　骰子10只. 一次掷 只、 只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为 的
　　概率的比为             ．
　　答案：1：6.
　　提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，
　　概率为    .
　　掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+ =10种，概率
　　为    .  所以概率的比为    :  =  1:6  .
　　7．在△ABC中，已知BC＝5，AC＝4，cos(A－B)＝78，
　　则cosC＝         ．
　　答案：1116
　　简解：因 ，故 . 如图，作AD，
　　使∠BAD＝∠B，则∠DAC＝∠A－∠B．
　　设AD＝BD＝x，则DC＝5－x．在△ADC中，
　　由余弦定理得x＝3．再由余弦定理得cosC＝1116．
　　8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F. 设M是抛物线上的动点，则
　　MOMF的最大值为            ．
　　答案：233