2010-2011学年同步精品学案——圆锥曲线与方程
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2010-2011学年同步精品学案——圆锥曲线与方程（4份）
第2章 圆锥曲线与方程 §2.2 椭 圆.DOC
第2章 圆锥曲线与方程 §2.4 抛物线.doc
第2章 圆锥曲线与方程 §2.3 双曲线.doc
第2章 圆锥曲线与方程 §2.1 曲线与方程.DOC
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
.
知识点一 直接法求曲线的方程
已知线段AB的长度为10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程是________．
解析 设点P的坐标为(x，y)，则A点坐标为(2x,0)，B点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，
整理、化简得x2＋y2＝25.
答案 x2＋y2＝25
知识点二 代入法求曲线的方程
已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
分析 由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y＝x2＋3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2＋3即可．
解 设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得
∴
∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，
∴3y＝(3x－6)2＋3，①
整理，得y＝3(x－2)2＋1，
故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.
知识点三 定义法求曲线的方程
设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M满足kMA·kMB＝－1，求动点M的轨迹方程．
解 如图所示，设动点M的坐标为(x，y)．由题意知：MA⊥MB.
所以△MAB为直角三角形，AB为斜边．
又因为原点O是AB的中点，
所以，|MO|=， |AB|=1，所以，动点M在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上．
根据圆的方程的定义知：方程为x2+y2=1.
又因为动点M不能与点A，B重合，所以，x≠±1，
所以，动点M的轨迹方程为x2+y2=1 (x≠±1)．
§2.2 椭 圆
典例剖析
知识点一 椭圆定义的应用
如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)内一点A，F1为左焦点，在椭圆上求一点P，使|PF1|＋|PA|取得最值．
解 设F2为椭圆的右焦点，且直线AF2与椭圆相交于P1、P2两点，点M是不同于点P1、P2的椭圆上的任意一点．
根据椭圆的定义知：|P1F1|+|P1F2|=2a，
所以| P1F1|+|P1A|=| P1F1|+| P1F2|+|F2A|
=2a+|F2A|.①
在△AMF2中 ，|MA|<|MF2|＋|F2A|.
所以|MF1|＋|MA|<|MF1|＋|MF2|＋|F2A|.
因为M是椭圆上任意一点，
所以|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以|MF1|＋|MA|<2a＋|F2A|.②
由式①、②知|MF1|＋|MA|<|P1F1|＋|P1A|.
|P2F1|＋|P2A|＝|P2F1|＋|P2F2|－|AF2|
＝2a－|F2A|.
而在△AMF2中，|MA|>|MF2|－|F2A|，
所以|MF1|＋|MA|>|MF1|＋|MF2|－|F2A|
＝2a－|F2A|，
所以|MF1|＋|MA|>|P2F1|＋|P2A|.
由以上可知，点P1是使|PF1|＋|PA|取得最大值的点，而点P2是使|PF1|＋|PA|取得最小值的点．
知识点二 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．
(2)经过点A(，)，B(0，－)．
(1)解 方法一 椭圆的焦点在x轴上，
设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆定义知：2a＝＋＝10，
所以a＝5.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故椭圆标准方程为＋＝1.
方法二 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
因为c＝4，所以a2－b2＝c2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得又因为a>b，所以该方程组无解．
②当椭圆焦点在y轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
所以方程为＋＝1.
综上知，所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
方法二 设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
依题意有
解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
即其标准方程为＋＝1.
§2.4 抛物线
典例剖析
知识点一 抛物线概念的应用
已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
解
将x=3代入抛物线方程
y2=2x，得y=±.
>2，∴点A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：
x= 的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，
当PA⊥l时，|PA|+d最小，
最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，
∴点P坐标为(2,2)．
知识点二 求抛物线的标准方程
求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出p的值．
解 (1)设抛物线标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝，或2p＝，故抛物线的标准方程为y2＝－x，或x2＝y.
(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.
∴抛物线的焦点为F(0，－2)．
设抛物线方程为x2＝－2py，则由＝2，得2p＝8.
∴所求的抛物线方程为x2＝－8y.
②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4.
∴抛物线的焦点为F(4,0)．
设抛物线方程为y2＝2px，由＝4，得2p＝16.
∴所求抛物线方程为y2＝16x.
知识点三 抛物线在实际中的应用
汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？
分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离
解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．
因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10，
所以点A的坐标是(10,12)．
设抛物线的方程为y2=2px(p>0)．
由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p×10，
∴p=7.2.
抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0)．
因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.
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