《椭圆及其标准方程》全章学案

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约12310字。

  鸡西市第十九中学学案
  2015年(    )月(    )日                          班级    姓名       
  2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
  学习
  目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
  重点
  难点 通过自己亲自动手尝试画图,发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养观察、辨析、归纳问题的能力.
  通过经历椭圆方程的化简,增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美,通过讨论椭圆方程推导的等价性,养成扎实严谨的科学态度.
  引言 在生活中,我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆;灯光斜照在圆形桌面上,地面上形成的影子也是椭圆形的.在学习中,椭圆其实比圆更加让我们熟知,无论是数学中的0,还是字母中的O,我们都能看到椭圆的踪影.那么椭圆是怎样定义的呢?
  【探究点一】椭圆的定义
  问题 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,能画出椭圆吗?
  答案 固定两个图钉,绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.
  结论 平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1、F2称为焦点,两焦点之间的距离称为焦距,记为2c.若设M为椭圆上的任意一点,则|MF1|+|MF2|=2a.
  【探究点二】椭圆的标准方程
  问题1 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单?并写出求解过程.
  答案  (1)如图所示,以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.
  (2)设点:设点M(x,y)是椭圆上任意一点,且椭圆的焦点坐标为F1(-c,0)、F2(c,0).
  (3)列式:依据椭圆的定义式|MF1|+|MF2|=2a列方程,并将其坐标化为x+c2+y2+x-c2+y2=2a.①
  (4)化简:通过移项、两次平方后得到:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),为使方程简单、对称、和谐,引入字母b,令b2=a2-c2,可得椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1 (a>b>0).②
  (5)从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程②,以方程②的解(x,y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离之和为2a,即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.方程②是椭圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程.

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