《双曲线及其标准方程》教学设计
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约8010字。
《双曲线及其标准方程》教学设计
【教学目标】
1．掌握双曲线的定义, 并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系, 建立及推导双曲线的标准方程；
2．通过与椭圆的类比、对照, 掌握双曲线的标准方程, 理解并掌握椭圆与双曲线之间的区别与联系, 并培养学生分析、归纳、推理等能力．
3．掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的 , 能根据条件确定双曲线的标准方程．
4．通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美, 培养学习数学的兴趣．
5．能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题了．
【教学建议】
（一）教材分析
1．知识结构
2．重点难点分析
重点：双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．
（1）双曲线的标准方程是在其定义的基础上推导的, 所以我们对双曲线的定义应给与重视．双曲线的定义与椭圆定义类似, 在理解时应注意：
①注意定义中的条件 的限定．若 , 则动点的轨迹为两条射线；若 , 则轨迹不存在．
②注意定义中的关键词“绝对值”．事实上若去掉定义中“绝对值”三个字, 动点轨迹只能是双曲线的一支．
双曲线是平面内的点的集合, , 如果 , 双曲线将变成两条射线.
（2）根据双曲线定义求双曲线的标准方程, 思想方法与推导过程和椭圆完全类似, 但应注意椭圆标准方程的推导中, 是令 ；而在双曲线标准方程的推导过程中, 是令 . ,
之间的关系不同, 不要搞混．
（3）为什么要引入 ？这不仅是化简的需要, 而且还有几何的实际背景, 就是虚轴的长．
（4）两种标准方程的双曲线的异同
中心在原点, 焦点在 轴、 轴上的双曲线标准方程分别是 , ．这两种双曲线的相同点是形状、大小相同, 都有 , 不同点是两种双曲线相对于坐标系的位置不同, 它们的焦点坐标也不同．
双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正；
双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正；
（5）在椭圆与双曲线的标准方程中, 前者 , 后者 无大小关系．根据椭圆与双曲线标准方程判定焦点在哪条坐标轴上, 前者是根据 项分母的大小来判定, 后者是根据 项系数的正负来判定．
（6）形如 的方程, 只要 符号相反, 就是双曲线方程.它可以化为 ．
（7）求双曲线的标准方程需要“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程, 就要求出 、 两个“待定系数”, 于是需要两个独立的条件, 按条件列出关于 、 的方程组, 解得 、 的具体数
值后, 再按位置特征写出标准方程, 因此“定量”是指 、 、 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外, 判断焦点在哪条坐标轴上, 以便在使方程的右边为1时, 确定方程的左边哪一项为正, 哪一项为负, 同时也就确定了 、 在方程中的位置．
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