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     导数的应用
　　●知识梳理
　　1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.
　　（1）求 （x）.
　　（2）确定 （x）在（a，b）内符号.
　　（3）若 （x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；
　　若 （x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.
　　2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.
　　（1）求 （x）.
　　（2） （x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
　　（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
　　●点击双基
　　1.函数y=x2（x－3）的减区间是
　　A.（－∞，0）                 B.（2，+∞）
　　C.（0，2）                D.（－2，2）
　　解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.
　　答案：C
　　2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足
　　A.a<0且b=0                B.a>0且b∈R
　　C.a<0且b≠0                D.a<0且b∈R
　　解析：  （x）=2ax，x<0且 （x）<0，
　　∴a>0且b∈R.
　　答案：B
　　3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］
　　A.在（－2，0）上递增                B.在（0，2）上递增
　　C.在（－ ，0）上递增                D.在（0， ）上递增
　　解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6， （x）=4x3－8x，
　　令 （x）>0，得－ <x<0或x> ，
　　∴F（x）在（－ ，0）上递增.
　　答案：C
　　4.在（a，b）内 （x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.
　　解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.
　　答案：充分
　　●典例剖析
　　【例1】 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.
　　剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.
　　解：  （x）=3x2－6ax+2b，由题意知
　　
　　即 
　　解之得a= ，b=－ .
　　此时f（x）=x3－x2－x， （x）=3x2－2x－1=3（x+ ）（x－1）.
　　当 （x）>0时，x>1或x<－ ，
　　当 （x）<0时，－ <x<1.
　　∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－ ）和（1，+∞），减区间为（－ ，1）.
　　评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.
　　【例2】 （2004年全国，19）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.
　　剖析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负.
　　解： （x）=3ax2+6x－1.
　　（1）当 （x）<0时，f（x）为减函数.
　　3ax2+6x－1<0（x∈R），a<0时，Δ=36+12a<0，∴a<－3.
　　∴a<－3时， （x）<0，f（x）在R上是减函数.
　　（2）当a=－3时，f（x）=－3（x－ ）3+ .
　　由y=x3在R上的单调性知：a=－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3.
　　评述：f（x）在R上为减函数  （x）≤0（x∈R）.
　　【例3】 （2004年全国，21）若函数y= x3－ ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.
　　剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
　　解：  （x）=x2－ax+a－1=0得x=1或x=a－1，
　　当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.
　　当a－1>1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数.
　　依题意，当x∈（1，4）时， （x）<0，当x∈（6，+∞）时， （x）>0，∴4≤a－1≤6.
　　∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］.
　　评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数 （x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问