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2018高考数学（文）大一轮复习_升级增分训练 （12份打包）
升级增分训练  导数的综合应用（二）.doc
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升级增分训练  最值、范围、存在性问题.doc
　　升级增分训练     导数的综合应用（二）
　　1．已知函数f(x)＝(ax2－x＋a)ex，g(x)＝bln x－x(b＞0)．
　　(1)讨论函数f(x)的单调性；
　　(2)当a＝12时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)＋g(x2)≥0成立，求实数b的取值范围．
　　解：(1)由题意得f′(x)＝(x＋1)(ax＋a－1)ex．
　　当a＝0时，f′(x)＝－(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；
　　当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
　　当a≠0时，令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝－1＋1a，
　　当a＞0时，因为－1＋1a＞－1，
　　所以f(x)在(－∞，－1)和－1＋1a，＋∞上单调递增，在－1，－1＋1a上单调递减；
　　当a＜0时，因为－1＋1a＜－1，
　　所以f(x)在－∞，－1＋1a和(－1，＋∞)上单调递减，在－1＋1a，－1上单调递增．
　　(2)由(1)知当a＝12时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，
　　因此f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)＝0．
　　由题意知，对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，
　　使g(x2)≥－f(x1)成立，
　　因为[－f(x1)]max＝0，
　　所以bln x2－x2≥0，即b≥x2ln x2．
　　令h(x)＝xln x，x∈[1,2]，
　　则h′(x)＝ln x－1ln x2＜0，
　　因此h(x)min＝h(2)＝2ln 2，所以b≥2ln 2，
　　即实数b的取值范围是2ln 2，＋∞．
　　2．(2017•南昌模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2－a＋2(a∈R，a为常数)
　　(1)讨论函数f(x)的单调性；
　　(2)若存在x0∈(0,1]，使得对任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋f(x0)＞0(其中e为自然对数的底数)都成立，求实数m的取值范围．
　　解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
　　f′(x)＝1x－2ax＝1－2ax2x，当a≤0时，f′(x)≥0，
　　所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
　　当a＞0时，由f′(x)≥0且x＞0，
　　升级增分训练    构造辅助函数求解导数问题
　　1．设函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
　　(1)求a，b的值；
　　(2)讨论f(x)的单调性；
　　(3)设g(x)＝23x3－x2，比较f(x)与g(x)的大小．
　　解：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
　　＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
　　又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，
　　所以f′(－2)＝f′(1)＝0，
　　因此－6a＋2b＝0，3＋3a＋2b＝0，
　　解得a＝－13，b＝－1.
　　(2)因为a＝－13，b＝－1，
　　所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，
　　令f′(x)＝0，
　　解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1．
　　因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)＜0；
　　当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0．
　　所以f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的；
　　在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．
　　(3)由(1)可知f(x)＝x2ex－1－13x3－x2．
　　故f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)，
　　令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1．
　　令h′(x)＝0，得x＝1，
　　因为当x∈(－∞，1]时，h′(x)≤0，
　　所以h(x)在(－∞，1]上单调递减；
　　故当x∈(－∞，1]时，h(x)≥h(1)＝0；
　　因为当x∈[1，＋∞)时，h′(x)≥0，
　　所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增；
　　故x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0．
　　所以对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0；
　　又x2≥0，因此f(x)－g(x)≥0．
　　故对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有f(x)≥g(x)．
　　2．(2015•北京高考)已知函数f(x)＝ln1＋x1－x．
　　(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
　　(2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)＞2x＋x33；
　　(3)设实数k使得f(x)＞kx＋x33对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值．
　　解：(1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)(－1＜x＜1)，
　　所以f′(x)＝11＋x＋11－x，f′(0)＝2．
　　又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x．
　　(2)证明：令g(x)＝f(x)－2x＋x33，
　　则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝2x41－x2．
　　因为g′(x)>0(0<x<1)，
　　所以g(x)在区间(0,1)上单调递增．
　　所以g(x)>g(0)＝0，x∈(0,1)，
　　升级增分训练    三角函数与平面向量
　　1．(2017•宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|OA―→＋OB―→|≥33|AB―→|，那么OA―→•OB―→的取值范围是(　　)
　　A．[－2,4)　　　　　　　　　 B．(－2,4)
　　C．(－4,2) D．(－4,2]
　　解析：选A　依题意，(OA―→＋OB―→)2≥13(OB―→－OA―→)2，
　　化简得OA―→•OB―→≥－2，
　　又根据三角形中，两边之差小于第三边，
　　可得|OA―→|－|OB―→|＜|AB―→|＝|OB―→－OA―→|，
　　两边平方可得(|OA―→|－|OB―→|)2＜(OB―→－OA―→)2，
　　化简可得OA―→•OB―→＜4，∴－2≤OA―→•OB―→＜4．
　　2．(2017•江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO―→＝AB―→＋AC―→且|OA―→|＝|AB―→|，则向量BA―→在BC―→方向上的投影为(　　)
　　A．12 B．32
　　C．－12 D．－32
　　解析：选A　由2AO―→＝AB―→＋AC―→可知O是BC的中点，
　　即BC为△ABC外接圆的直径，
　　所以|OA―→|＝|OB―→|＝|OC―→|，由题意知|OA―→|＝|AB―→|＝1，
　　故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°．
　　所以向量BA―→在BC―→方向上的投影为|BA―→|•cos∠ABC＝1×cos 60°＝12．故选A．
　　3．(2017•石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)
　　A．[－2，1] B．[－1，2]
　　C．[－1,1] D．[1，2]
　　解析：选C　∵sin αcos β－cos αsin β＝1，
　　即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，
　　∴α－β＝π2，又0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，
　　则π2≤α≤π，