《圆锥曲线与方程》复习教案

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约28350字。

  1.椭圆的定义
  平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
  这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
  椭圆的集合描述:设点M是椭圆上任意一点,点F1,F2是椭圆的焦点,则由椭圆的定义,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,0<|F1F2|<2a}.
  2.椭圆的标准方程的推导过程
  如图,给定椭圆,它的焦点为F1,F2,焦距|F1F2|=2c(c>0),椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(a>c).
  (1)建系:以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.那么焦点F1,F2的坐标分别为_________,_________.
  (2)列式:设M(x,y)是椭圆上任意一点,由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,即   .
  (3)化简:上式整理可得 .令 ,可得 (a>b>0).
  3.椭圆的标准方程
  椭圆的标准方程有两种形式:
  (1)焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为 (a>b>0),焦点为F1 (-c,0),F2 (c,0),焦距为_________,且 _________,如图1所示;
  (2)焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为 (a>b>0),焦点为F1 (0,-c),F2 (0,c),焦距为_________,且 _________,如图2所示.
  图1 图2   图3
  注:椭圆方程中,a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半,可借助于图3记忆.正数a,b,c恰好构成一个直角三角形,其中a是斜边,所以a>b,a>c且 ,其中c是焦距的一半.对于图2中的椭圆,关系式a>b,a>c且 也始终成立.
  4.椭圆 (a>b>0)的简单几何性质
  (1)范围:易知 ,故 ,即 ;同理 .
  故椭圆位于直线 和 所围成的矩形框里.
  (2)对称性:在方程中,以 代替 或以 代替或以 代替 、以 代替,方程都不改变,故椭圆关于x轴、y轴和原点都对称.原点为椭圆的对称中心,也称为椭圆的中心.
  (3)顶点:椭圆与x轴、y轴分别有两个交点,这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点,叫做椭圆的顶点.其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴,y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴,长轴长为_________,短轴长为_________.
  说明:依据椭圆的四个顶点,可以确定椭圆的具体位置.
  (4)离心率:椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_________.
  离心率能够刻画椭圆的扁平程度.椭圆的扁平程度由离心率的大小确定,与椭圆的焦点所在

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