北师大版（文）2017版大一轮复习讲义（教案+课件）第四章 三角函数、解三角形（16份打包）
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1.角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k•360°＋α，k∈Z}.
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
2.弧度制
(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad，1 rad＝180π°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|•r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|•r2.
3.任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0).
三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ＋π2，k∈Z}
＋ － ＋ －
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
【思考辨析】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S(α＋β))
tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T(α－β))
tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T(α＋β))
2.二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3.公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sinα±π4.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( × )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( × )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )
1.化简cos 40°cos 25°1－sin 40°等于( )
A.1 B.3 C.2 D.2
答案 C
解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )
(4)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．( √ )
1．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )
A．103 n mile B.1063 n mile
C．52 n mile D．56 n mile
答案 D
解析 如图，在△ABC中，
AB＝10，∠A＝60°，
∠B＝75°，
∴BCsin 60°＝10sin 45°，
∴BC＝56.
2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
答案 B
解析 如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：3≈1.732)( )
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