2017版数学（文）大一轮复习：垂直关系
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约8840字。
1．直线与平面垂直
图形 条件 结论
判定 a⊥b，bα(b为α内的任意一条直线) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α b⊥α
性质 a⊥α，bα a⊥b
a⊥α，b⊥α a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 lβl⊥α
⇒α⊥β
性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βα∩β＝alβl⊥a
⇒l⊥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( × )
(5)a⊥α，aβ⇒α⊥β.( √ )
(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )
A．l与平面α内的两条直线垂直
B．l与平面α内无数条直线垂直
C．l与平面α内的某一条直线垂直
D．l与平面α内任意一条直线垂直
答案 D
解析 由直线与平面垂直的定义，可知D正确．
2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若α⊥β，因为α∩β＝m，bβ，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又aα，所以a⊥b；反过时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案 A
解析 ∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
4．(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________________________________________对．
答案 7
解析 由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．
5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，
即O为△ABC的外心．
(2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，AB平面PAB，
∴PC⊥AB，
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