《三角恒等变换》全章导学案

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约10060字。

  鸡西市第十九中学学案
  2014年(    )月(    )日                          班级    姓名       
  3.1.1 两角差的余弦公式
  学习
  目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
  2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算
  重点
  难点 当给出α、β的某个三角函数值,在求cos(α-β)值时,要善于利用同角间的三角函数关系式求出α、β的正弦和余弦值,再利用公式来求其值.
  【两角差余弦公式的探索】
  问题1 有人认为cos(α-β)=cos α-cos β,你认为正确吗,试举两例加以说明.
  例如:当α=π2,β=π4时,cos(α-β)=       =        ,
  而cos α-cos β=        -         =          ,
  所以,cos(α-β)≠cos α-cos β;
  再如:当α=π3,β=π6时,cos(α-β)=       =        ,
  而cos α-cos β=        -         =          ,
  问题2 请你计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征,写出一个猜想.
  ①cos 45°cos 45°+sin 45°sin 45°=                                 ;
  ②cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°=                                 ;
  ③cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=                                 ;
  ④cos 150°cos 210°+sin 150°sin 210°=                                 .
  猜想:cos αcos β+sin αsin β=           ;
  即:                                   .
  【两角差余弦公式的证明】(证明过程只需要了解、不要求掌握)
  如图,以坐标原点为中心,作单位圆,设 , ,则     
  (备用图)
  过点P作 ,垂足为A,过点P作 轴,垂足为M,
  过点A作 轴,垂足为B,
  在 中,OP=      ,
  =      ,
  =      ,
  易知  +         = , +         = = ,
  =      ,
  在 中, , OB=      ,
  过点P作 ,垂足为C,则CP=BM,
  在 中, , CP=      ,
  我们发现 =       ,
  于是,OM=OB+BM= OB+CP=      +      =      +      ,
  +          
  这个公式称为差角的余弦公式,简记作
  【两角差余弦公式的应用】
  例1 利用差角余弦公式求 的值 (详见课本126页);再求 的值。
  例2 求下列三角函数式的值.
  (1)sin π12;                         (2)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°;
  (3)cos(α-45°)cos(15°+α)+sin(α-45°)sin(15°+α).
  小结 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.
  训练1 求cos 105°+sin 195°的值.

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