《三角恒等变换》全章导学案
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约10060字。
鸡西市第十九中学学案
2014年( )月( )日 班级 姓名
3.1.1 两角差的余弦公式
学习
目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算
重点
难点 当给出α、β的某个三角函数值,在求cos(α-β)值时,要善于利用同角间的三角函数关系式求出α、β的正弦和余弦值,再利用公式来求其值.
【两角差余弦公式的探索】
问题1 有人认为cos(α-β)=cos α-cos β,你认为正确吗,试举两例加以说明.
例如:当α=π2,β=π4时,cos(α-β)= = ,
而cos α-cos β= - = ,
所以,cos(α-β)≠cos α-cos β;
再如:当α=π3,β=π6时,cos(α-β)= = ,
而cos α-cos β= - = ,
问题2 请你计算下列式子的值,并根据这些式子的共同特征,写出一个猜想.
①cos 45°cos 45°+sin 45°sin 45°= ;
②cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°= ;
③cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°= ;
④cos 150°cos 210°+sin 150°sin 210°= .
猜想:cos αcos β+sin αsin β= ;
即: .
【两角差余弦公式的证明】(证明过程只需要了解、不要求掌握)
如图,以坐标原点为中心,作单位圆,设 , ,则
(备用图)
过点P作 ,垂足为A,过点P作 轴,垂足为M,
过点A作 轴,垂足为B,
在 中,OP= ,
= ,
= ,
易知 + = , + = = ,
= ,
在 中, , OB= ,
过点P作 ,垂足为C,则CP=BM,
在 中, , CP= ,
我们发现 = ,
于是,OM=OB+BM= OB+CP= + = + ,
+
这个公式称为差角的余弦公式,简记作
【两角差余弦公式的应用】
例1 利用差角余弦公式求 的值 (详见课本126页);再求 的值。
例2 求下列三角函数式的值.
(1)sin π12; (2)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°;
(3)cos(α-45°)cos(15°+α)+sin(α-45°)sin(15°+α).
小结 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.
训练1 求cos 105°+sin 195°的值.
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