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　　第1讲 平面向量的概念及线性运算
　　最新考纲　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
　　知 识 梳 理
　　1．向量的有关概念
　　名称 定义 备注
　　向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
　　零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0
　　单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
　　平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
　　共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
　　相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
　　相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
　　2.向量的线性运算
　　向量
　　运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
　　加法 求两个向量和的运算
　　(1)交换律：a＋b＝b＋a.
　　(2)结合律：
　　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
　　减法 求a与b的
　　相反向量
　　－b的和的
　　运算叫做
　　a与b的差
　　a－b＝a＋(－b)
　　数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
　　(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；
　　(λ＋μ)a＝λa＋μa；
　　λ(a＋b)＝λa＋λb
　　3.共线向量定理
　　向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．
　　诊 断 自 测
　　1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　 精彩PPT展示
　　(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(×)
　　(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)
　　(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)
　　(4)若a∥b，则∃λ∈R使b＝λa.(×)
　　2．(2015•东北三省四市联考)在四边形ABCD中，若AC→＝AB→＋AD→，则四边形ABCD一定是(　　)
　　A．矩形  B．菱形
　　C．正方形  D．平行四边形
　　解析　依题意得AB→＋BC→＝AB→＋AD→，BC→＝AD→，因此BC∥AD，且BC＝AD，四边形ABCD是平行四边形，故选D.
　　答案　D
　　3．(2014•新课标全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝(　　)
　　A.AD→  B.12AD→  C.BC→  D.12BC→ 
　　解析　设AB→＝a，AC→＝b，则EB→＝－12b＋a，FC→＝－12a＋b，从而EB→＋FC→＝－12b＋a＋－12a＋b＝12(a＋b)＝AD→，故选A.
　　答案　A
　　4．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________．
　　解析　由题意知，a＋λb＝k(2a－b)，则有1＝2k，λ＝－k，
　　所以k＝12，λ＝－12.
　　答案　－12
　　5．(人教A必修4P92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝______，BC→＝________(用a，b表示)．
　　解析　如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→
　　＝－a－b.
　　答案　b－a　－a－b