天津市2013届高三数学总复习之综合专题卷
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天津市2013届高三数学总复习之综合专题：圆锥曲线（理）（教师版）.doc
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导函数（理）
1、（单调区间、极值、最值问题）已知函数 其中 。
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率；
（2）当 时，求函数 的单调区间与极值。
解：（1）当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率为 ；
（2）当 时， 在 内是增函数，在 内是减函数；
函数 在 处取得极大值 ；
函数 在 处取得极小值
当 时， 在 内是增函数，在 内是减函数；
函数 在 处取得极大值 ；
函数 在 处取得极小值 。
2、（单调区间、极值、最值问题）设 ，函数 ， ， ，试讨论函数 的单调性。
解： 对于 ，分段进行研究。
对于 ，对 分类：
当 时， ，∴函数 在 上是增函数；
导数在研究函数中的应用2——利用导数研究曲线的交点个数
1、设 为实数，函数
（1）求 的极值；
（2）当 在什么范围内取值时，曲线 与 轴仅有一个交点。
解：（1） =3 －2 －1，若 =0，则 ， ；
当 变化时， ， 变化情况如下表：
∴ 的极大值是 ，极小值是 。
（2）函数 ，由此可知，取足够大的正数时，有 0，取足够小的负数时有 ，曲线 与 轴至少有一个交点，结合 的单调性可知：
当 的极大值 ，即 时，它的极小值也小于0，因此曲线 与 轴仅有一个交点，它在 上；
当 的极小值 即 时，它的极大值也大于0，因此曲线 与 轴仅有一个交点，它在 上；
所以，当 时，曲线 与 轴仅有一个交点。
2、已知函数 。
导数在研究函数中的应用
1、函数 ，已知 在 时取得极值，则 （ B ）
A、2 B、3 C、4 D、5
2、已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时（ B ）
A、 B、
C、 D、
3、若 在 上是减函数，则 的取值范围是（ C ）
A、 B、 C、 D、
4、已知 与 是定义在 上的连续函数，如果 与 仅当 时的函数值为0，且 ，那么下列情形不可能出现的是（ C ）
A、0是 的极大值，也是 的极大值
B、0是 的极小值，也是 的极小值
C、0是 的极大值，但不是 的极值
D、0是 的极小值，但不是 的极值
5、函数 的定义域为区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在区间 内极小值点有（ A ）
三角函数（理）
考查内容：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角的函数值、
诱导公式、函数 图象及其性质、两角和与差公式、
倍角公式、正余弦定理等基础知识，考查基本运算能力。
1、（2011年天津卷理工类）已知函数 。
（1）求 的定义域与最小正周期；
（2）设 ，若 ，求 的大小。
解：（1）由 得
所以 的定义域为 ， 的最小正周期为 。
（2）由 ，得 ，即 ，
整理得， ，因为 ，
所以可得 ， ，由 ，得 ，
数列求和
概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前 项和，即求和抓通项。
1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和
思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
①等差数列求和公式： ；
②等比数列求和公式： ；
③ ；
④ ；
⑤ 。
圆锥曲线（文）
考查内容：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质，直线的方
程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数
形结合的思想，考查运算和推理能力。
1、长度为 的线段 的两个端点 分别在 轴和 轴上滑动，点 在线段 上，且 为常数且 。
（1）求点 的轨迹方程 ，并说明轨迹类型；
（2）当 时，已知直线 与原点 的距离为 ，且直线 与轨迹 有公共点，求直线 的斜率 的取值范围。
解：（1）设 、 、 ，则 ，由此及 ，得 ，即 ；
①当 时，方程的轨迹是焦点为 ，长轴长为 的椭圆；
②当 时，方程的轨迹是焦点为 ，长轴长为 的椭圆；
③当 时，方程的轨迹是焦点为以 点为圆心， 为半径的圆。
（2）设直线 的方程： ，据题意有 ，即 。
由 ，得 ，因为直线 与椭圆 有公共点，所以 ，又把 代入上式得： 。
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