2011高考数学一轮复习精讲精练系列教案（上册）
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不等式
1．理解不等式的性质及其证明．
2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
4．掌握简单不等式的解法．
5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．
不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：
1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．
2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．
3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．
第1课时 不等式的概念和性质
1、实数的大小比较法则：
设a，b∈R，则a>b ；a＝b ；a<b .
实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的 就可以了.
实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.
2、不等式的5个性质定理及其3条推论
定理1（对称性） a>b
定理2（同向传递性） a>b，b>c
定理3 a>ba＋c > b＋c
推论 a>b，c>d
定理4 a>b，c>0
a>b，c<0
推论1 (非负数同向相乘法)
a>b≥0，c>d≥0
推论2 a>b＞0 (nN且n>1)
定理5 a>b＞0 (nN且n>1)
例1. 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.
解：(1)(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y)
(2)aabb＞abba
变式训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.
答案：{x|－＜x＜3且x≠－1,x≠0}。
解析：：或。
例2. 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.
解：当0＜x＜1或x＞时，f(x)＞g(x)；
当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x).
变式训练2：若不等式(－1)na＜2＋对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 .
例3. 函数＝ax2＋bx满足：1≤≤2，2≤≤4，求的取值范围．
解：由f (x)＝ax2＋bx得
f (－1)＝a－b，f (1)＝a＋b，f (－2)＝4a－2b
a＝[f (1)＋f(－1)]，b＝[f (1)－f(－1)]
则f(－2)＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)]
＝3f (－1)＋f (1)
由条件1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4
可得3×1＋2≤3f(－1)＋f(1)≤3×2＋4
得f (－2)的取值范围是5≤f (－2)≤10.
变式训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .
解： (－3，3)
例4. 已知函数f (x)＝x2＋ax＋b，当p、q满足p＋q＝1时，试证明：pf (x)＋qf (y)≥f (px＋qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是o≤p≤1.
证明：∵pf (x)＋qf (y)－f (px＋qy)＝pq(x－y)2＝p(1－p)(x－y)2
充分性：当0≤p≤1时，≥0
从而
必要性：当时，则有≥0，又≥0，从而≥0，即0≤p≤1．综上所述，原命题成立．
变式训练4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．
(1)证明：－＜＜1；
(2)若x＋x1x2＋x＝1，求x－x1x2＋x；
(3)求| x－x|．
解：(1)∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，
∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b，
∴a＞0，1＞ ∴－
(2)（方法1）∵a＋b＋c＝0
∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1，
不妨设x1＝1，则由可得
而，
∴x2＝－1， ∴
(方法2)∵
由＋
，∴
∵∴
(3)由(2)知，
∴，∴
∴ ∴
1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．
2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．
3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”．
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