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共6道小题，约2030字。

　　2010年高中数学联赛四川赛区初赛试题
　　说明：
　　1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
　　2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
　　一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
　　1、已知条件 ：  和条件  ： ．则 是 的（  C  ）．
　　A、充分但不必要条件          B、必要但不充分条件
　　C、充要条件                  D、既不充分也不必要条件
　　解：因为 ，
　　故 是 的充要条件．故选C．
　　2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量 ，则 的数学期望 是（  C  ）．
　　A、        B、        C、         D、
　　解：数学期望是： ．故选C.
　　3、设正三棱锥 的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱 与底面 所成的角的大小是（  A  ）
　　A、       B、        C、         D、
　　解：设顶点 在底面 的射影是 ，则 为 的外心．
　　从而 ，于是可得 ．故选A．
　　4、已知函数 的最小值是0，则非零实数 的值是（  B   ）．
　　A、       B、         C、2          D、4
　　解： ，
　　因为 ，故                           
　　当 时， ，不合题意；
　　当 时， ，           
　　由条件知 ，解得 或0（舍去）．故选B.
　　5、长方体 的八个顶点都在球 的球面上，其中 ，
　　， ，则经过 两点的球面距离是（   C  ）
　　A、        B、        C、        D、
　　解：球 的半径 ，在 中 ， ，则 ，从而 ．
　　所以，经过 两点的球面距离是 ．故选C．
　　6、对任意实数 ，过函数 图象上的点 的切线恒过一定点 ，则点 的坐标为（  B  ）
　　A、        B、        C、        D、
　　解：因为 ，故 ．于是过 的切线方程是：
　　即 ，因此切线方程恒过 ．故选B．
　　7、设A1、A2为椭圆 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的
　　点 ，使得 ，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率 的取值范围是（  D  ）
　　A、        B、        C、        D、
　　解：由题设知∠OPA2=90°，设P(x,y)(x>0)，以OA2为直径的圆方程为 ，
　　与椭圆方程联立得 ．由题设知，要求此方程在(0, a )上有实根．
　　由此得 化简得 ，所以e的取值范围为 ．故选D．