2009年全国高中数学联赛江苏省初赛试题

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  约3500字 2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
  (2009年5月3日8∶00-10∶00)
  一、填空题(每小题7分,共70分) 
  1.已知sinαcosβ=1,则cos(α+β)=          .
  2.已知等差数列{an}的前11项的和为55,去掉一项ak后,余下10项的算术平均值为4.若a1=-5,则k=            .
  3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e=             .
  4.已知3x+19x-1=13-31-x,则实数x=            .
  5.如图,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=2QD.R为棱AD的中点,则点A、B到平面PQR的距离的比值为           .
  6.设f(x)=log3x-4-x,则满足f(x)≥0的x的取值范围是            .
  7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水              cm3.
  8.设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则→BC•→AO=           .
  9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009=2,则此数列的前2009项的和为         .
  10.设a是整数,0≤b<1.若a2=2b(a+b),则b=           .
  二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分) 
  11.在直角坐标系xOy中,直线x-2y+4=0与椭圆x29+y24=1交于A,B两点,F是椭圆的左焦点.求以O,F,A,B为顶点的四边形的面积.
  12.如图,设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求BC.
  13.若不等式x+y≤k2x+y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围.
  14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证;
  ⑵ 是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.
        
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