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共20题，约2850字。
　　2018-2019学年第二学期高二期中考试
　　数学试题（理科）
　　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
　　1. 计算：的值为▲.
　　2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是▲.
　　3. 已知，则=   ▲.
　　4. 已知复数，其中为虚数单位，则的模是▲.
　　5. 用反证法证明“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设▲.
　　6. 用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取▲.
　　7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有▲种.
　　8.  除以9的余数为▲.
　　9. 若，则的值为___▲___.
　　10. 已知不等式，，，照此规律总结出第个不等式为▲.
　　11. 在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于点，则得到的结论是_    ▲.
　　12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.
　　13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，则▲.
　　14. 三角形的周长为31，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为▲.
　　二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
　　15.（本小题满分14分）
　　已知复数是纯虚数.          
　　（1）求的值；
　　（2）若复数，满足，求的最大值.
　　16. （本小题满分14分）
　　（1）设，求证：；
　　（2）已知非零实数是公差不为零的等差数列，求证：．
　　17. （本小题满分14分）
　　从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
　　（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；
　　（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；
　　（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；
　　（4）甲不在第一棒.