江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题(理科)

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共20题,约2850字。
  2018-2019学年第二学期高二期中考试
  数学试题(理科)
  一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
  1. 计算:的值为▲.
  2. 已知复数,其中为虚数单位,则复数的实部是▲.
  3. 已知,则=   ▲.
  4. 已知复数,其中为虚数单位,则的模是▲.
  5. 用反证法证明“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,应假设▲.
  6. 用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时,第一步中的值应取▲.
  7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有▲种.
  8.  除以9的余数为▲.
  9. 若,则的值为___▲___.
  10. 已知不等式,,,照此规律总结出第个不等式为▲.
  11. 在平面几何中,的内角平分线分所成线段的比(如图所示),把这个结论类比到空间:在三棱锥中(如图所示),面平分二面角且与相交于点,则得到的结论是_    ▲.
  12. 如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案种数为___▲___.
  13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,则▲.
  14. 三角形的周长为31,三边均为整数,且,则满足条件的三元数组的个数为▲.
  二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
  15.(本小题满分14分)
  已知复数是纯虚数.          
  (1)求的值;
  (2)若复数,满足,求的最大值.
  16. (本小题满分14分)
  (1)设,求证:;
  (2)已知非零实数是公差不为零的等差数列,求证:.
  17. (本小题满分14分)
  从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法?
  (1)甲、乙两人必须入选且跑中间两棒;
  (2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒;
  (3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒;
  (4)甲不在第一棒.
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