圆的方程、直线和圆的位置关系复习教案
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约3050字。
圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】
一、 圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
(一)圆的标准方程
这个方程叫做圆的标准方程。
说 明:1、若圆心在坐标原点上,这时 ,则圆的方程就是 。
2、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径;圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要 三个量确定了且 >0,圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件确定 ,可以根据条件,利用待定系数法来解决。
(二)圆的一般方程
将圆的标准方程 ,展开可得 。可见,任何一个圆的方程都可以写成 :
问题:形如 的方程的曲线是不是圆?
将方程 左边配方得:
(1)当 >0时,方程(1)与标准方程比较,方程 表示以 为圆
心,以 为半径的圆。 ,
(3)当 <0时,方程 没有实数解,因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义:
当 >0时,方程 称为圆的一般方程.
圆的一般方程的特点:
(1) 和 的系数相同,不等于零;
(2)没有xy这样的二次项。
(三)直线与圆的位置关系
1、直线与圆位置关系的种类
(1)相离---求距离; (2)相切---求切线; (3)相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法:
几何方法主要步骤:
(1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径
(2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
(3)作判断: 当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当d<r时,直线与圆相交。
代数方法主要步骤:
(1)把直线方程与圆的方程联立成方程组
(2)利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程
(3)求出其Δ的值,比较Δ与0的大小:
(4)当Δ<0时,直线与圆相离;当Δ=0时,直线与圆相切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
【典型例题】
类型一:圆的方程
例1 求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点 与圆的关系.
变式1:求过两点 、 且被直线 平分的圆的标准方程.
变式2:求过两点 、 且圆上所有的点均关于直线 对称的圆的标准方程.
分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 与圆的位置关系,只须看点 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.
解法一:(待定系数法)
设圆的标准方程为 .∵圆心在 上,故 .∴圆的方程为 .
又∵该圆过 、 两点.∴ 解之得: , .
所以所求圆的方程为 .
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