2017版高考数学北师大版（理）一轮复习（课件+讲义）：第3章 导数及其应用
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1.导数与导函数的概念
(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0 f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.
(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
2.导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为实数) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xln a
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
课时3 导数与函数的综合问题
题型一 用导数解决与不等式有关的问题
命题点1 解不等式
例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有xf′(x)－f(x)x2<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是( )
A.(－2,0)∪(2，＋∞) B.(－2,0)∪(0,2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0,2)
答案 D
解析 ∵当x>0时，f(x)x′<0，
∴φ(x)＝f(x)x为减函数，
又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数.
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).
命题点2 证明不等式
例2 证明：当x∈[0,1]时，22x≤sin x≤x.
证明 记F(x)＝sin x－22x，
则F′(x)＝cos x－22.
当x∈(0，π4)时，F′(x)>0，F(x)在[0，π4]上是增函数；
当x∈(π4，1)时，F′(x)<0，F(x)在[π4，1]上是减函数.
又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，
即sin x≥22x.
记H(x)＝sin x－x，
则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1<0，
高考专题突破一 高考中的导数应用问题
1.(2015•课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(0,1)
B.(－1,0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1,0)
D.(0,1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝f(x)x，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝f(x)x′＝xf′(x)－f(x)x2＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔f(x)x＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔f(x)x＜0⇔f(x)＞0.综上，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.
2.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.(－∞，－1]
C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
答案 D
解析 由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.
由于k≥1x，而0<1x<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞).
3.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数个
答案 A
解析 函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－2x＋1x，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
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