2017版高考数学（文）人教A版（全国）一轮复习配套课件+文档：第三章 导数及其应用
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1．导数与导函数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xln a
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)•g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( × )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × )
1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为( )
A．0 B．3 C．4 D．－73
答案 B
解析 ∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.
∴f′(－1)＝3.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
3．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′(π2)sin x＋cos x，则f′(π4)＝________.
答案 －2
解析 因为f(x)＝f′(π2)sin x＋cos x，
所以f′(x)＝f′(π2)cos x－sin x，
所以f′(π2)＝f′(π2)cosπ2－sinπ2，
即f′(π2)＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x.
课时3 导数与函数的综合问题
题型一 用导数解决与不等式有关的问题
命题点1 解不等式
例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有xf′(x)－f(x)x2<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
答案 D
解析 x>0时f(x)x′<0，∴φ(x)＝f(x)x为减函数，
又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．
命题点2 证明不等式
例2 证明：当x∈[0,1]时，22x≤sin x≤x.
证明 记F(x)＝sin x－22x，
则F′(x)＝cos x－22.
当x∈(0，π4)时，F′(x)>0，F(x)在[0，π4]上是增函数；
当x∈(π4，1)时，F′(x)<0，F(x)在[π4，1]上是减函数．
又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，
即sin x≥22x.
记H(x)＝sin x－x，
则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1<0，
所以H(x)在[0,1]上是减函数，
则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.
综上，22x≤sin x≤x，x∈[0,1]．
命题点3 不等式恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝ln x－ax.
若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
解 ∵f(x)<x2，∴ln x－ax<x2，
又x>0，∴a>xln x－x3，
令g(x)＝xln x－x3，则h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，
h′(x)＝1x－6x＝1－6x2x，
∵当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，
∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0.
∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数，∴g(x)<g(1)＝－1，
∴当a≥－1时，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．
思维升华 (1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；
(2)证明不等式f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)<0即可；
(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
设a∈R，已知函数f(x)＝ax3－3x2.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x∈[1,3]，有f(x)＋f′(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)>0，得x<0或x>2；由f′(x)<0，得0<x<2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．
(2)依题意，对∀x∈[1,3]，ax3－3x2＋3ax2－6x≤0恒成立，等价于不等式a≤3x2＋6xx3＋3x2＝3x＋6x2＋3x对x∈[1,3]恒成立．
令h(x)＝3x＋6x2＋3x，x∈[1,3]，
则h′(x)＝－3(x2＋4x＋6)(x2＋3x)2＝－3[(x＋2)2＋2](x2＋3x)2<0，
所以h(x)在区间[1,3]上是减函数，
所以h(x)的最小值为h(3)＝56.
所以a≤56，即实数a的取值范围为－∞，56.
题型二 利用导数解决函数零点问题
例4 (2014•课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
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