2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习配套课件+文档:第三章《导数及其应用》ppt(共10份)

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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习配套课件+文档:第三章 导数及其应用
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第三章 3.1.pptx
第三章 3.2 .pptx
第三章 3.2.1.pptx
第三章 3.2.2.pptx
第三章 3.2.3.pptx
  1.导数与导函数的概念
  (1)函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx.
  (2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
  2.导数的几何意义
  函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).
  3.基本初等函数的导数公式
  基本初等函数 导函数
  f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
  f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1
  f(x)=sin x f′(x)=cos_x
  f(x)=cos x f′(x)=-sin_x
  f(x)=ex f′(x)=ex
  f(x)=ax(a>0,a≠1) f′(x)=axln_a
  f(x)=ln x f′(x)=1x
  f(x)=logax(a>0,a≠1) f′(x)=1xln a
  4.导数的运算法则
  若f′(x),g′(x)存在,则有
  (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
  (2)[f(x)•g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
  (3)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
  【思考辨析】
  判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
  (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × )
  (2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( × )
  (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ )
  (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
  (5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.( × )
  1.(教材改编)f′(x)是函数f(x)=13x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为(  )
  A.0  B.3  C.4  D.-73
  答案 B
  解析 ∵f(x)=13x3+2x+1,∴f′(x)=x2+2.
  ∴f′(-1)=3.
  2.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(  )
  答案 D
  解析 由y=f′(x)的图象知y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.
  又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
  3.设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=f′(π2)sin x+cos x,则f′(π4)=________.
  答案 -2
  解析 因为f(x)=f′(π2)sin x+cos x,
  所以f′(x)=f′(π2)cos x-sin x,
  所以f′(π2)=f′(π2)cosπ2-sinπ2,
  即f′(π2)=-1,所以f(x)=-sin x+cos x.
  课时3 导数与函数的综合问题
  题型一 用导数解决与不等式有关的问题
  命题点1 解不等式
  例1 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)-f(x)x2<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是(  )
  A.(-2,0)∪(2,+∞)  B.(-2,0)∪(0,2)
  C.(-∞,-2)∪(2,+∞)  D.(-∞,-2)∪(0,2)
  答案 D
  解析 x>0时f(x)x′<0,∴φ(x)=f(x)x为减函数,
  又φ(2)=0,∴当且仅当0<x<2时,φ(x)>0,
  此时x2f(x)>0.
  又f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数.
  故x2f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
  命题点2 证明不等式
  例2 证明:当x∈[0,1]时,22x≤sin x≤x.
  证明 记F(x)=sin x-22x,
  则F′(x)=cos x-22.
  当x∈(0,π4)时,F′(x)>0,F(x)在[0,π4]上是增函数;
  当x∈(π4,1)时,F′(x)<0,F(x)在[π4,1]上是减函数.
  又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,
  即sin x≥22x.
  记H(x)=sin x-x,
  则当x∈(0,1)时,H′(x)=cos x-1<0,
  所以H(x)在[0,1]上是减函数,
  则H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x.
  综上,22x≤sin x≤x,x∈[0,1].
  命题点3 不等式恒成立问题
  例3 已知函数f(x)=ln x-ax.
  若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
  解 ∵f(x)<x2,∴ln x-ax<x2,
  又x>0,∴a>xln x-x3,
  令g(x)=xln x-x3,则h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,
  h′(x)=1x-6x=1-6x2x,
  ∵当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
  ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数,
  ∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0.
  ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数,∴g(x)<g(1)=-1,
  ∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.
  思维升华 (1)利用导数解不等式,一般可构造函数,利用已知条件确定函数单调性解不等式;
  (2)证明不等式f(x)<g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),利用导数求F(x)的值域,得到F(x)<0即可;
  (3)利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
  设a∈R,已知函数f(x)=ax3-3x2.
  (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
  (2)若对任意的x∈[1,3],有f(x)+f′(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
  解 (1)当a=1时,f(x)=x3-3x2,则f′(x)=3x2-6x.
  由f′(x)>0,得x<0或x>2;由f′(x)<0,得0<x<2.
  所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2).
  (2)依题意,对∀x∈[1,3],ax3-3x2+3ax2-6x≤0恒成立,等价于不等式a≤3x2+6xx3+3x2=3x+6x2+3x对x∈[1,3]恒成立.
  令h(x)=3x+6x2+3x,x∈[1,3],
  则h′(x)=-3(x2+4x+6)(x2+3x)2=-3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0,
  所以h(x)在区间[1,3]上是减函数,
  所以h(x)的最小值为h(3)=56.
  所以a≤56,即实数a的取值范围为-∞,56.
  题型二 利用导数解决函数零点问题
  例4 (2014•课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
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