2017版高考数学（理）人教A版（全国）一轮复习（课件+习题+讲义）：第3章 导数及其应用
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高考专题突破一.docx
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1．导数与导函数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xln a
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)•g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′•ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( × )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × )
1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为( )
A．0 B．3 C．4 D．－73
答案 B
解析 ∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.
∴f′(－1)＝3.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
课时3 导数与函数的综合问题
题型一 用导数解决与不等式有关的问题
命题点1 解不等式
例1 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有xf′(x)－f(x)x2<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
答案 D
解析 x>0时f(x)x′<0，∴φ(x)＝f(x)x为减函数，
又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．
命题点2 证明不等式
例2 证明：当x∈[0,1]时，22x≤sin x≤x.
证明 记F(x)＝sin x－22x，则F′(x)＝cos x－22.
当x∈(0，π4)时，F′(x)>0，F(x)在[0，π4]上是增函数；
当x∈(π4，1)时，F′(x)<0，F(x)在[π4，1]上是减函数．
又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，
即sin x≥22x.
记H(x)＝sin x－x，
则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1<0，
所以H(x)在[0,1]上是减函数，
则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.
综上，22x≤sin x≤x，x∈[0,1]．
命题点3 不等式恒成立问题
例3 已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
(1)解 设两曲线的公共点为(x0，y0)，
f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2x，
由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即12x20＋2ax0＝3a2ln x0＋b，x0＋2a＝3a2x0.
由x0＋2a＝3a2x0，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
1．(2015•课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝f(x)x，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝f(x)x′＝xf′(x)－f(x)x2＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔f(x)x＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔f(x)x＜0⇔f(x)＞0.综上，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.
2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥1x，而0<1x<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
3．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．无数个
答案 A
解析 函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－2x＋1x，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
4．(2015•课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.
(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．
将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝1＋3a，
解得a＝1.
5．设函数f(x)＝e2x2＋1x，g(x)＝e2xex，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，
不等式g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，所以kk＋1≥g(x1)maxf(x2)min.
因为g(x)＝e2xex，
所以g′(x)＝e2－x(1－x)．
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e.
又f(x)＝e2x＋1x≥2e(x>0)．
当且仅当e2x＝1x，即x＝1e时取等号，故f(x)min＝2e.
所以g(x1)maxf(x2)min＝e2e＝12，应有kk＋1≥12，
又k>0，所以k≥1.
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