2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习(课件+习题+讲义):第3章《导数及其应用》ppt(共14份)

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2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习(课件+习题+讲义):第3章 导数及其应用
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  1.导数与导函数的概念
  (1)函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=limΔx→0 ΔyΔx=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)Δx.
  (2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
  2.导数的几何意义
  函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).
  3.基本初等函数的导数公式
  基本初等函数 导函数
  f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
  f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1
  f(x)=sin x f′(x)=cos_x
  f(x)=cos x f′(x)=-sin_x
  f(x)=ex f′(x)=ex
  f(x)=ax(a>0,a≠1) f′(x)=axln_a
  f(x)=ln x f′(x)=1x
  f(x)=logax(a>0,a≠1) f′(x)=1xln a
  4.导数的运算法则
  若f′(x),g′(x)存在,则有
  (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
  (2)[f(x)•g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
  (3)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
  5.复合函数的导数
  复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′•ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
  【思考辨析】
  判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
  (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × )
  (2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( × )
  (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ )
  (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
  (5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.( × )
  1.(教材改编)f′(x)是函数f(x)=13x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为(  )
  A.0     B.3     C.4    D.-73
  答案 B
  解析 ∵f(x)=13x3+2x+1,∴f′(x)=x2+2.
  ∴f′(-1)=3.
  2.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(  )
  课时3 导数与函数的综合问题
  题型一 用导数解决与不等式有关的问题
  命题点1 解不等式
  例1 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)-f(x)x2<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是(  )
  A.(-2,0)∪(2,+∞)  B.(-2,0)∪(0,2)
  C.(-∞,-2)∪(2,+∞)  D.(-∞,-2)∪(0,2)
  答案 D
  解析 x>0时f(x)x′<0,∴φ(x)=f(x)x为减函数,
  又φ(2)=0,∴当且仅当0<x<2时,φ(x)>0,
  此时x2f(x)>0.
  又f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数.
  故x2f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
  命题点2 证明不等式
  例2 证明:当x∈[0,1]时,22x≤sin x≤x.
  证明 记F(x)=sin x-22x,则F′(x)=cos x-22.
  当x∈(0,π4)时,F′(x)>0,F(x)在[0,π4]上是增函数;
  当x∈(π4,1)时,F′(x)<0,F(x)在[π4,1]上是减函数.
  又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,
  即sin x≥22x.
  记H(x)=sin x-x,
  则当x∈(0,1)时,H′(x)=cos x-1<0,
  所以H(x)在[0,1]上是减函数,
  则H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x.
  综上,22x≤sin x≤x,x∈[0,1].
  命题点3 不等式恒成立问题
  例3 已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
  (1)用a表示b,并求b的最大值;
  (2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).
  (1)解 设两曲线的公共点为(x0,y0),
  f′(x)=x+2a,g′(x)=3a2x,
  由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
  即12x20+2ax0=3a2ln x0+b,x0+2a=3a2x0.
  由x0+2a=3a2x0,得x0=a或x0=-3a(舍去).
  1.(2015•课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )
  A.(-∞,-1)∪(0,1)
  B.(-1,0)∪(1,+∞)
  C.(-∞,-1)∪(-1,0)
  D.(0,1)∪(1,+∞)
  答案 A
  解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.当x≠0时,令g(x)=f(x)x,则g(x)为偶函数,且g(1)=g(-1)=0.则当x>0时,g′(x)=f(x)x′=xf′(x)-f(x)x2<0,故g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.所以在(0,+∞)上,当0<x<1时,g(x)>g(1)=0⇔f(x)x>0⇔f(x)>0;在(-∞,0)上,当x<-1时,g(x)<g(-1)=0⇔f(x)x<0⇔f(x)>0.综上,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),选A.
  2.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(  )
  A.(-∞,-2]  B.(-∞,-1]
  C.[2,+∞)  D.[1,+∞)
  答案 D
  解析 由于f′(x)=k-1x,f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增⇔f′(x)=k-1x≥0在(1,+∞)上恒成立.
  由于k≥1x,而0<1x<1,所以k≥1.
  即k的取值范围为[1,+∞).
  3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是(  )
  A.0      B.1      C.2     D.无数个
  答案 A
  解析 函数定义域为(0,+∞),
  且f′(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,
  由于x>0,g(x)=6x2-2x+1中Δ=-20<0,
  所以g(x)>0恒成立,故f′(x)>0恒成立,
  即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
  4.(2015•课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________.
  答案 1
  解析 f′(x)=3ax2+1,f′(1)=1+3a,f(1)=a+2.
  (1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(1+3a)(x-1).
  将(2,7)代入切线方程,得7-(a+2)=1+3a,
  解得a=1.
  5.设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xex,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立,则正数k的取值范围是________.
  答案 [1,+∞)
  解析 因为对任意x1,x2∈(0,+∞),
  不等式g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立,所以kk+1≥g(x1)maxf(x2)min.
  因为g(x)=e2xex,
  所以g′(x)=e2-x(1-x).
  当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0,
  所以g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
  所以当x=1时,g(x)取到最大值,即g(x)max=g(1)=e.
  又f(x)=e2x+1x≥2e(x>0).
  当且仅当e2x=1x,即x=1e时取等号,故f(x)min=2e.
  所以g(x1)maxf(x2)min=e2e=12,应有kk+1≥12,
  又k>0,所以k≥1.
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