2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练（课件+习题）专题5导数及其应用（不分文理，全国通用）（2份打包）
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第一部分 一 5
一、选择题
1．(文)曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1
C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1
[答案] A
[解析] k＝y′|x＝0＝(ex＋xex＋2)|x＝0＝3，
∴切线方程为y＝3x－1，故选A.
(理)(2014•吉林市质检)若函数f(x)＝2sinx(x∈[0，π])在点P处的切线平行于函数g(x)＝2x•(x3＋1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率( )
A．1 B.12
C.83 D. 2
[答案] C
[解析] f′(x)＝2cosx，x∈[0，π]，∴f′(x)∈[－2,2]，g′(x)＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1＝x2＋1x2，∴2cosx1＝2且x2＋1x2＝2，∵x1∈[0，π]，
∴x1＝0，∴y1＝0，x2＝1，y2＝83，∴kPQ＝y2－y1x2－x1＝83.
[方法点拨] 1.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f ′(x0)．
2．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：
求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
3．若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f′ (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．
4．(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．
(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
2．已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f(x)<f ′(x)对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则下面正确的是( )
A．f(1)>e•f(0)，f(2012)>e2012•f(0)
B．f(1)<e•f(0)，f(2012)>e2012•f(0)
C．f(1)>e•f(0)，f(2012)<e2012•f(0)
D．f(1)<e•f(0)，f(2012)<e2012•f(0)
[答案] A
[解析] 设F(x)＝fxex，
则F′(x)＝f ′x•ex－exfxex2＝f ′x－fxex，
∵f(x)<f ′(x)对于x∈R恒成立，
∴F′(x)>0，即F(x)在x∈R上为增函数，
∴F(1)>F(0)，F(2012)>F(0)，
即f1e1>f0e0，f2012e2012>f0e0，
∴f(1)>ef(0)，
f(2012)>e2012f(0)．
[方法点拨] 1.函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．
2．利用导数研究函数的单调性的步骤．
(1)找出函数f(x)的定义域；
(2)求f ′(x)；
(3)在定义域内解不等式f ′(x)>0，f ′(x)<0.
3．求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0.
4．若已知函数的单调性求参数的值或取值范围，只需转化为不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在单调区间内恒成立的问题求解，解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想．
3．(2015•新课标Ⅱ理，12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 考查导数的应用．
记函数g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf′x－fxx2，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，且g(－1)＝g(1)＝0.当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
[方法点拨] 1.在研究函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等问题中，根据解题的需要可以构造新的函数g(x)，通过研究g(x)的性质(如单调性、极值等)来解决原问题是常用的方法．如在讨论f ′(x)的符号时，若f ′(x)的一部分为h(x)，f ′(x)的符号由h(x)所决定，则可转化为研究h(x)的极(最)值来解决，证明f(x)>g(x)时，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为h(x)的最小值问题等等．
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