2017版数学（文）大一轮复习：平行关系
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约7200字。
1．直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝∅ aα，bα，
a∥b a∥α a∥α，aβ，
α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b
2.面面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 α∩β＝∅ aβ，bβ，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，aβ
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.( √ )
(7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或lα
答案 D
解析 当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，lα.
2．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ.
可以填入的条件有( )
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．①或②或③
答案 C
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C.
3．下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⃘α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
答案 平行
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⃘平面ACE，EO平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
答案 6
解析 各中点连线如图，
只有面EFGH与面ABB1A1平行，
在四边形EFGH中有6条符合题意．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明 (1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝12AD，
∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
FO平面BEF，AP⃘平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行性质定理的应用
例2 (2014•安徽)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
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