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约4780字。

　　平面向量应用
　　1、(1)(2013•新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→•BD→＝________.
　　(2)(2013•天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→•BE→＝1，则AB的长为________．
　　解析　(1)以A为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(1,2)．
　　∴AE→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)．
　　从而AE→•BD→＝(1,2)•(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.
　　(2)由题意可知，AC→＝AB→＋AD→，BE→＝－12AB→＋AD→.因为AC→•BE→＝1，所以(AB→＋AD→)•－12AB→＋AD→＝1，
　　即AD→2＋12AB→•AD→－12AB→2＝1.①
　　因为|AD→|＝1，∠BAD＝60°，所以AB→•AD→＝12|AB→|，
　　因此①式可化为1＋14|AB→|－12|AB→|2＝1，解得|AB→|＝0(舍去)或12，所以AB的长为12.
　　答案　(1)2　(2)12
　　2、在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则AC→•AE→＝(　　)．
　　A.3＋33          B.92         C.3           D.94
　　(2)在△ABC所在平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积之比值是(　　)．
　　A.13        B.12        C.23           D.34
　　解析　(1)建立如图平面直角坐标系，则A－32，0，C32，0，
　　B0，－12.
　　∴E点坐标为34，－14，
　　∴AC→＝(3，0)，AE→＝334，－14，
　　∴AC→•AE→＝3×334＝94.
　　(2)由已知可得PC→＝2AP→，
　　∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，
　　易知S△PAB＝13S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.
　　答案　(1)D　(2)A
　　3、(2013•湖南卷)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC→＋12PQ→•PC→－12PQ→＝0.
　　(1)求动点P的轨迹方程；
　　(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→•PF→的最值．
　　解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
　　由(PC→＋12PQ→)•(PC→－12PQ→)＝0，
　　得|PC→|2－14|PQ→|2＝0，
　　即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，
　　化简得x216＋y212＝1.
　　所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.
　　(2)因PE→•PF→＝(NE→－NP→)•(NF→－NP→)＝(－NF→－NP→)•(NF→－NP→)＝(－NP→)2－NF→2＝NP→2－1，
　　P是椭圆x216＋y212＝1上的任一点，设P(x0，y0)，
　　则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0,1)，
　　所以NP→2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17
　　＝－13(y0＋3)2＋20.
　　因y0∈[－23，23]，所以当y0＝－3时，NP→2取得最大值20，故PE→•PF→的最大值为19；
　　当y0＝23时，NP→2取得最小值为13－43(此时x0＝0)，故PE→•PF→的最小值为12－43.
　　3、已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA→•AM→＝0，AM→＝－32MQ→，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
　　解　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，则PA→＝(a,3)，AM→＝(x－a，y)，MQ→＝(－x，b－y)，