《函数与方程》复习讲义
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函数与方程复习讲义
一.【目标要求】
①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,
②判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
③会理解函数零点存在性定理,会判断函数零点的存在性.
二.【基础知识】
1.函数零点的概念:
对于函数 ,我们把方程 的实数根叫做函数 的零点。
2.函数零点与方程根的关系:
方程 有实数根 函数 的图象与 有点 函数 有零点
3.函数零点的存在性定理:
如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有 ,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根。
注:若 恒成立,则没有零点。
三.【技巧平台】
1.对函数零点的理解及补充
(1)若 在 处其函数值为0,即 ,则称 为函数 的零点。
(2)变号零点与不变号零点
①若函数 在零点 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 的变号零点。
②若函数 在零点 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 的不变号零点。
③若函数 在区间 上的图像是一条连续的曲线,则 是 在区间 内有零点的充分不必要条件。
(3)一般结论:函数 的零点就是方程 的实数根。从图像上看,函数 的零点,就是它图像与 交点的横坐标。
(4)更一般的结论:函数 的零点就是方程 的实数根,也
就是函数 与 的图像交点的横坐标。
2.函数 零点个数(或方程 实数根的个数)确定方法
1) 代数法:函数 的零点 的根
2) 几何法:有些不容易直接求出的函数 的零点或方程 的根,可利用 的图像和性质找出零点。画
3) 注意二次函数的零点个数问题
有2个零点 有两个不等实根
有1个零点 有两个相等实根
无零点 无实根
对于二次函数在区间 上的零点个数,要结合图像进行确定
4) 对于函数 的零点个数问题,可画出两个函数图像,看其交点个数有几个,则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。
5) 方程的根或函数零点的存在性问题,要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定,但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性,在给定的区间上,如果函数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间,再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负,作出正确的判断。
6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。
3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。
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