2013-2014学年高中数学人教B版必修5学案+章末检测：第三章+不等式（7份）
3.1 不等关系与不等式 学案（人教B版必修5）.doc
3.2 均值不等式 学案（人教B版必修5）.doc
3.3 一元二次不等式及其解法 学案（人教B版必修5）.doc
3.4 不等式的实际应用 学案（人教B版必修5）.doc
3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 学案（人教B版必修5）.doc
第三章 不等式 章末检测 学案（人教B版必修5）.doc
第三章 不等式 章末整合 学案（人教B版必修5）.doc
第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
1．不等式的基本性质
对于任意的实数a，b，有以下事实：
a>b⇔a－b>0；
a＝b⇔a－b＝0；
a<b⇔a－b<0.
这三条基本性质是差值比较法的理论依据．
例如：已知a>b>0，m>0，要比较a＋mb＋m与ab的大小，就可以采用以下方法：
a＋mb＋m－ab＝bm－ambb＋m＝mb－abb＋m.
∵m>0，a>b>0，∴b－a<0，
∴mb－abb＋m<0，∴a＋mb＋m<ab.
2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面
单向性：
(1)a>b，b>c⇒a>c.
(2)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.
(3)a>b，c>0⇒ac>bc.
(4)a>b，c<0⇒ac<bc.
(5)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(6)a>b>0，n为正实数⇒an>bn.
双向性：
(1)a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；
a－b<0⇔a<b.
(2)a>b⇔b<a.
(3)a>b⇔a＋c>b＋c.
单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)．
若把c>0作为大前提，则a>b⇔ac>bc，若把c<0作为大前提，则a>b⇔ac<bc.这两条性质也经常用于解不等式．例如，下面这个简单的一元一次不等式也需要在上述性质下才能完成．
3.3 一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式
通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax>b.若a>0，则其解集为x|x>ba.若a<0，则其解集为x|x<ba.
若a＝0，b<0，解集为R；b≥0，解集为∅.
2．三个“二次”的关系
通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
不妨设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2且x1<x2.
从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法
数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下：
x的区间 x<1 1<x<2 2<x<3 x>3
x－1 － ＋ ＋ ＋
x－2 － － ＋ ＋
x－3 － － － ＋
(x－3)(x－2)
•(x－1) － ＋ － ＋
把表格的信息“浓缩”在数轴得：
3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示平面区域
(1)直角坐标平面内的一条直线Ax＋By＋C＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．
(2)若点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0的同侧(或异侧)，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号(或异号)．
(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法
(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点．当C＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．
3．补充判定二元一次不等式表示的区域的一种方法
先证一个结论
已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C＝0 (B≠0)上，证明：
(1)P在l上方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)>0；
(2)P在l下方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)<0.
证明 (1)∵B≠0，∴直线方程化为y＝－ABx－CB，
章末整合
知识概览
对点讲练
知识点一 一元二次不等式的解集
例1 已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
回顾归纳 (1)解含参数的不等式(x－a)(x－b)>0，要讨论a与b的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．
(2)应注意讨论ax2＋bx＋c>0的二次项系数a是否为零的情况．
(3)要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想，分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．
变式训练1 解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
知识点二 利用均值不等式求最值
例2 (1)设0<x<2，求函数y＝3x8－3x的最大值；
(2)求3a－4＋a (a<4)的取值范围；
(3)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
回顾归纳 利用均值不等式求函数最值，可利用条件对函数式进行转化，构造成均值不等式成立的形式．应用时应满足“一正、二定、三相等”特别是相等条件的运用，可同时求得取得最值时应满足的条件．
变式训练2 (1)求函数y＝x2＋7x＋10x＋1 (x>－1)的最小值；
(2)已知：x>0，y>0且3x＋4y＝12.求lg x＋lg y的最大值及相应的x，y值．
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