2012年高考数学试题+模拟新题分类汇编专题（含集合与常用逻辑用语等14个专题）（理科）
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2012年高考试题+模拟新题分类汇编专题
A 集合与常用逻辑用语（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
B 函数与导数（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
C 三角函数（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
D 数列（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
E 不等式（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
F 平面向量（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
G 立体几何（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
H 解析几何（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
I 统计（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
J 计数原理（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
K 概率（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
L 算法初步与复数（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
M 推理与证明（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
N 选修4系列（理科）（高考真题+模拟新题）.doc
A 集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1[2012•湖南卷] 设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝( )
A．{0} B．{0,1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
1．B [解析] 本题考查集合的运算，意在考查考生对集合交集的简单运算．
解得集合N＝{ x|0≤x ≤1}，直接运算得M∩N＝{0,1}．
2．A1[2012•广东卷] 设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
2．C [解析] 因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，所以∁UM＝{3,5,6}，所以选择C.
1．A1[2012•北京卷] 已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B.－1，－23
C.－23，3 D．(3，＋∞)
1．D [解析] 因为A＝{x|3x＋2>0}＝xx>－23
＝－23，＋∞，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A∩B＝(3，＋∞)，答案为D.
2．A1[2012•全国卷] 已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或3 B．0或3
C．1或3 D．1或3
2．B [解析] 本小题主要考查集合元素的性质和集合的关系．解题的突破口为集合元素的互异性和集合的包含关系．
由A∪B＝A得B⊆A，所以有m＝3或m＝m.由m＝m得m＝0或1，经检验，m＝1时B＝{1,1}矛盾，m＝0或3时符合，故选B.
E 不等式
E1 不等式的概念与性质
5．E1、E6[2012•福建卷] 下列不等式一定成立的是( )
A．lgx2＋14＞lgx(x＞0)
B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.1x2＋1＞1(x∈R)
5．C [解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A选项，当x＝12时，lgx2＋14＝lgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，∵x2＋1≥1，∴0<1x2＋1≤1，所以正确的是C.
21．D1、D3、E1、M3[2012•重庆卷] 设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.
(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；
(2)若a2＞－1，求证：Sn≤n2(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．
21．解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.
因a2≠0，故a1＝1，得a2a1＝a2.
又由题设条件知
Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1，
两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，
即an＋2＝a2an＋1，
由a2≠0，知an＋1≠0，因此an＋2an＋1＝a2.
综上，an＋1an＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
证法二：用数学归纳法证明an＝an－12，n∈N*.
当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，
所以结论成立．
假设n＝k时，结论成立，即ak＝ak－12，那么
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝ak2，
这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
综上可得，对任意n∈N*，an＝an－12.因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
(2)当n＝1或2时，显然Sn＝n2(a1＋an)，等号成立．
设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知a1＝1，
I 统计
I1 随机抽样
9．I1[2012•天津卷] 某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
9．18 9 [解析] 本题考查简单随机抽样中的分层抽样，考查运算求解能力，容易题．
设从小学抽取m所，中学抽取n所，由分层抽样的特点得m150＝n75＝30150＋75＋25，解之得m＝18，n＝9.
4．I1[2012•山东卷] 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9 C．10 D．15
4．C [解析] 本题考查系统抽样，考查数据处理能力，中档题．
第n个抽到的编号为9＋n－1×30＝30n－21，由题意得451≤30n－21≤750，解之得
151115≤n≤25710，又∵n∈Z，∴满足条件的n共有10个．
2．I1[2012•江苏卷] 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
2．15 [解析] 本题考查简单随机抽样中的分层抽
M 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
11．M1[2012•陕西卷] 观察下列不等式
1＋122<32，
1＋122＋132<53，
1＋122＋132＋142<74，
……
照此规律，第五个不等式为______________．
11．1＋122＋132＋142＋152＋162<116
[解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.
13．M1[2012•湖北卷] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
13．(1)90 (2)9×10n [解析] 由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n＋2位回文数与2n＋1位回文数个数相等，均为9×10n个．
16．M1[2012•湖南卷] 设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N2和后N2个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段N2个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段N2i个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；
(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．
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