《直线与方程》知识点总结
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约2000字。
倾斜角与斜率
1. 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角 的范围是 .
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 . 如果知道直线上两点 ,则有斜率公式 . 特别地是,当 , 时,直线与x轴垂直,斜率k不存在;当 , 时,直线与y轴垂直,斜率k=0.
注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k=0;当 时,斜率 ,随着α的增大,斜率k也增大;当 时,斜率 ,随着α的增大,斜率k也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.
两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线 、 ,其斜率分别为 、 ,有:
(1) ;(2) .
2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于x轴;….
直线的点斜式方程
1. 点斜式:直线 过点 ,且斜率为k,其方程为 .
2. 斜截式:直线 的斜率为k,在y轴上截距为b,其方程为 .
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线 过点 且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 ,或 .
4. 注意: 与 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 ,后者才是整条直线.
直线的两点式方程
1. 两点式:直线 经过两点 ,其方程为 ,
2. 截距式:直线 在x、y轴上的截距分别为a、b,其方程为 .
3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.
4. 线段 中点坐标公式 .
直线的一般式方程
1. 一般式: ,注意A、B不同时为0. 直线一般式方程 化为斜截式方程 ,表示斜率为 ,y轴上截距为 的直线.
2 与直线 平行的直线,可设所求方程为 ;与直线 垂直的直线,可设所求方程为 . 过点 的直线可写为 .
经过点 ,且平行于直线l的直线方程是 ;
经过点 ,且垂直于直线l的直线方程是 .
3. 已知直线 的方程分别是: ( 不同时为0), ( 不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别:
(1) ; (2) ;
(3) 与 重合 ; (4) 与 相交 .
如果 时,则 ; 与 重合 ; 与 相交 .
两条直线的交点坐标
1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合.
2. 方程 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 与 的交点.
两点间的距离
1. 平面内两点 , ,则两点间的距离为: .
特别地,当 所在直线与x轴平行时, ;当 所在直线与y轴平行时, ;当 在直线 上时, .
2. 坐标法解决问题的基本步骤是:(1)建立坐标系,用坐标表示有关量;(2)进行有关代数运算;(3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
点到直线的距离及两平行线距离
1. 点 到直线 的距离公式为 .
2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线 , 之间的距离公式 ,推导过程为:在直线 上任取一点 ,则 ,即 . 这时点 到直线 的距离为
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