2011届高三数学一轮巩固与练习（导数的应用等15份）
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2011届高三数学一轮巩固与练习
01【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：导数的应用.doc
02【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：导数及其应用.doc
03【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：定积分与微积分.doc
04【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：函数的图象.doc
05【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：函数模型及其应用.doc
06【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：函数与方程.doc
07【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：简单的三角恒等变换.doc
08【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：解三角形应用举例.doc
09【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：两角和与差的三角函数.doc
10【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：幂函数.doc
11【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：三角函数.doc
12【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：三角函数的图象及三角函数模型的简单应用.doc
13【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：三角函数的图象与性质.doc
14【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：同角三角函数的基本关系及诱导公式.doc
15【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：正、余弦定理.doc
巩固
1．(原创题)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，∴在(a，b)内只有一个极小值点．
2．(2010年佛山高中质检)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A．(13，＋∞) B．(－∞，13]
C．[13，＋∞) D．(－∞，13)
解析：选C.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，∴m≥13.故选C.
3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( )
A．有最大值152 B．有最大值－152
C．有最小值152 D．有最小值－152
解析：选B.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知
f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，
则f′(－1)＝3－2b＋c≤0f′(2)＝12＋4b＋c≤0
⇒15＋2b＋2c≤0⇒b＋c≤－152.
4．函数y＝3x2－6lnx的单调增区间为________，单调减区间为________．
解析：y′＝6x－6x＝6x2－6x.
∵定义域为(0，＋∞)，由y′>0得x>1，
∴增区间为(1，＋∞)；
由y′<0得0<x<1.
∴减区间为(0,1)．
答案：(1，＋∞) (0,1)
5．已知函数f(x)＝alnx＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝alnx＋x，∴f′(x)＝ax＋1.
又∵f(x)在[2,3]上单调递增，
∴ax＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，
∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
巩固
1．(原创题)《优化方案》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )
A．x＞22% B．x＜22%
C．x＝22% D．x的大小由第一年的销量确定
解析：选B.(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2＜0.22.故选B.
2.(2009年高考湖北卷)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2000元 B．2200元
C．2400元 D．2800元
解析：选B.设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件
20x＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，
求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值，解得当x＝4y＝2时
zmin＝2200，故选B.
3．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
解析：选D.设该公司的年收入为a万元，
则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%.
解之得a＝280×22－0.25＝320.
4．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________．
解析：设商品原价为a，应提价为x，
则有a(1－10%)(1＋x)＝a，
∴x＝11－10%－1＝109－1＝19≈11.11%.
答案：11.11%
5．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)
解析：设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，则有0.3•(34)x≤0.09，即(34)x≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．
答案：5
6．某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段(早上8点至晚上21点)的电价为0.55元/千瓦时，谷时段(晚上21点至次日早上8点)的电价为0.35元/千瓦时，对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，求这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为多少？
解：设每月峰时段用电量为x千瓦时，则有
(0.52－0.55)x＋(0.52－0.35)(200－x)
≥200×0.52×10%，
解得x≤118.
所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118千瓦时．
巩固与练习
1．(2010年滨州模拟)函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则函数为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
解析：选B.由题意知m＝2，则该函数为y＝x2，故选B.
2．(2008年高考山东卷)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C.原命题正确，所以逆否命题也正确；逆命题错误，所以否命题也错误，故真命题的个数是1.
3．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn，当n＞0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是( )
A．①④ B．④⑤
C．②③ D．②⑤
解析：选D.当y＝x－1时，不过(0,0)点，①错误；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．故选D.
4．函数y＝|x|9n(n∈N*，n＞9)的图象可能是( )
解析：选C.令n＝18，则函数y＝|x|12，∴该函数为偶函数，
∴函数y＝|x|12的图象关于y轴对称，故排除A、B，当x≥0时，由y＝x12在第一象限的图象可知应选C.
5．已知函数f(x)＝x1－a3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，
∴1－a＜0，即a＞1.
又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，
∴a－1＝2，即a＝3，故选D.
巩固
1．(2008年高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
A.6 B．2
C.3 D.2
解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sinC，
∴sinC＝12.
又∵C为锐角，∴C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.故选D.
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32，则a的值为( )
A．1 B．2
C.32 D.3
解析：选D.由已知得：12bcsinA＝12×1×c×sin60°＝32⇒c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3⇒a＝3.
3．在△ABC中，cos2B>cos2A是A>B的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.cos2B>cos2A⇒1－2sin2B>1－2sin2A⇒sin2B<sin2A⇒sinA>sinB⇒A>B.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝14(b2＋c2－a2)，则∠A＝________.
解析：由已知得：12bcsinA＝14(b2＋c2－a2)⇒b2＋c2－a22bc＝sinA，由余弦定理可得cosA＝sinA⇒A＝π4.
答案：π4
5．(原创题)在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝2＋1，sinA＋sinB＝2sinC，则c＝________；若C＝π3，则△ABC的面积S＝________.
解析：依题意及正弦定理得a＋b＝2c，且a＋b＋c＝2＋1，
因此c＋2c＝2＋1，c＝1，
当C＝π3时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝1，
∴(a＋b)2－3ab＝1.
又a＋b＝2，因此2－3ab＝1，
∴ab＝13，
则△ABC的面积S＝12absinC＝12×13sinπ3＝312.
答案：1 312
6．(2009年高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→•AC→＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值．
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