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　　导数及其应用
　　要点梳理
　　1.曲线的切线方程
　　点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0))处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为_____________________.
　　2.函数的单调性
　　(1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便,
　　但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:
　　①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);
　　③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当  f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是______;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是_______.还可以通过列表,写出函数的单调区间.
　　(2)已知函数单调性，利用导数求参数范围时，应注意使用如下的充要条件：
　　可导函数 在 上为增函数  成立（等号不恒成立）
　　3.函数的极值
　　求可导函数极值的步骤
　　求导数f′(x)→求方程________的根→检验f′(x) 在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则 f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这个根处取极小值).
　　4.函数的最值
　　求可导函数在［a,b］上的最值的步骤
　　求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和_____的大小.
　　题型一  函数的极值与导数  
　　【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. 
　　(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;
　　(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.
　　分析：(1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及
　　f′(x)<0可求单调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
　　解  (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
　　得m-n=-3.①
　　由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
　　而g(x)的图象关于y轴对称,所以
　　所以m=-3.代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
　　由f′(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
　　由f′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).
　　(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2),令f′(x)=0得x=0或x=2.
　　当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
　　由此可得:
　　当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值
　　f(0)=-2,无极小值;
　　当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
　　当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;
　　当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
　　综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值;当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;当a=1或a≥3时,f(x)无极值.
　　【例2】设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8,其中a∈R.
　　(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；
　　(2)若f(x)在(－∞,0)上为增函数，求a的取值范围．
　　解　(1)因为f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)，
　　f(x)在x＝3处取得极值，所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0.解得a＝3.
　　经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点，∴a＝3.
　　(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，得x1＝a，x2＝1.
　　当a<1时，若x∈(－∞，a)或x∈(1，＋∞)时，则f′(x)>0，
　　所以f(x)在(－∞，a)，(1，＋∞)上为增函数，
　　故0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数；
　　当a≥1时，若x∈(－∞，1)或x∈(a，＋∞)，
　　则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
　　综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
　　题型二　函数的最值与导数
　　【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实 数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值－29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
　　解:由f(x)＝ax3－6ax2＋b得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
　　当a＝0时,f′(x)＝0,f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2]上取最大值3,最小值－29.
　　当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间[－1,2]上,
　　由a>0得－16a＋b<－7a＋b，则f(x)在[－1,2]上取最大值b，最小值－16a＋b.