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约12560字。

　　第5讲　导数的综合应用与热点问题
　　高考定位　在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.
　　真 题 感 悟
　　1.(2018•全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax2.
　　(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
　　(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
　　(1)证明　当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x.
　　令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2.
　　令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.
　　当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0；
　　当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.
　　∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0，
　　∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.
　　(2)解　若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程ex－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，
　　由a＝exx2，令φ(x)＝exx2，x∈(0，＋∞)，
　　φ′(x)＝ex（x－2）x3，令φ′(x)＝0，解得x＝2.
　　当x∈(0，2)时，φ′(x)<0；
　　当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.
　　∴φ(x)min＝φ(2)＝e24.∴a＝e24.
　　2.(2017•全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0.
　　(1)求a；
　　(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2.
　　(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
　　设g(x)＝ax－a－ln x，
　　则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0，
　　因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，
　　而g′(x)＝a－1x，g′(1)＝a－1，得a＝1.
　　若a＝1，则g′(x)＝1－1x.
　　当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
　　当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
　　所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.
　　综上，a＝1.
　　(2)证明　由(1)知f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，
　　设h(x)＝2x－2－ln x，则h′(x)＝2－1x.
　　当x∈0，12时，h′(x)<0；
　　当x∈12，＋∞时，h′(x)>0.
　　所以h(x)在0，12单调递减，在12，＋∞单调递增.
　　又h(e－2)>0，h12<0，h(1)＝0，
　　所以h(x)在0，12有唯一零点x0，在12，＋∞有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.
　　因为f′(x)＝h(x)，
　　所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点.
　　由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，
　　故f(x0)＝x0(1－x0).
　　由x0∈0，12得f(x0)<14.
　　因为x＝x0是f(x)在(0，1)的最大值点，
　　由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.
　　所以e－2<f(x0)<2－2.
　　考 点 整 合
　　1.利用导数研究函数的零点
　　函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.
　　2.三次函数的零点分布
　　三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1<x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
　　a的符号 零点个数 充要条件