江苏省丹阳高级中学高二数学专题练习:数列

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约15670字。

  第1讲 等差数列、等比数列
  一、熟记核心要点
  1.an与Sn的关系:Sn=a1+a2+…+an,an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.
  2.等差数列和等比数列
  等差数列 等比数列
  定义 an-an-1=常数(n≥2) anan-1=常数(n≥2)
  通项
  公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0)
  判定
  方法 (1)定义法
  (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n≥1)⇔{an}为等差数列
  (3)通项公式法:an=pn+q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列
  (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列
  (5){an}为等比数列,an>0⇔{logaan}为等差数列 (1)定义法
  (2)中项公式法:a2n+1=an•an+2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列
  (3)通项公式法:an=c•qn(c、q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列
  (4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0且a≠1)
  性质 (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq
  (2)an=am+(n-m)d (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am•an=ap•aq
  (2)an=amqn-m
  前n
  项和 Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d
  (1)q≠1,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q
  (2)q=1,Sn=na1
  二、掌握二级结论
  1.若{an},{bn}均是等差数列,Sn是{an}的前n项和,则{man+kbn},Snn仍为等差数列,其中m,k为常数.
  2.若{an},{bn}均是等比数列,则{can}(c≠0),{|an|},{an•bn},{manbn}(m为常数),{a2n},1an仍为等比数列.
  3.公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…成等比数列,且公比为a3-a2a2-a1=(a2-a1)qa2-a1=q.
  4.(1)等比数列(q≠-1)中连续k项的和成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其公比为qk.
  (2)等差数列中连续k项的和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,公差为k2d.
  5.若A2n-1,B2n-1分别为等差数列{an},{bn}的前2n-1项的和,则anbn=A2n-1B2n-1.
  三、澄清易错易混点
  1.应用关系式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.
  2.三个数a,b,c成等差数列的充要条件是b=a+c2,而三个不为0的数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.
  3.应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公比q是否等于1.
  考点1 等差(比)数列的基本运算
  题型:选择、填空 难度:基础 分值:5分
  热点 以等差(比)数列为载体考查基本量的求解,体现方程思想、整体思想的应用
  知识小脉络:
  (1)(2015•石家庄模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,那么数列{bn}的前15项和为(  )
  A.152      B.135      C.80       D.16
  (2)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(  )
  A.2      B.-2      C.12      D.-12
  【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q,由a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,所以公比q=a2+a4a1+a3=3,首项a1=301+q2=3,所以an=3n,bn=1+log33n=1+n,则数列{bn}是等差数列,前15项的和为15×(2+16)2=135,故选B.
  (2)由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6,因为S1,S2,S4成等比数列,
  所以S22=S1•S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-12,故选D.
  方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用
  等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量,如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其中a1和d(或q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.
  【题组演练】
  1.已知数列{an},{bn}满足a1=b1=3,an+1-an=bn+1bn=3,n∈N*.若数列{cn}满足cn=ban,则c2 016=(  )

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