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　　专题一　空间向量及其运算
　　空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展．
　　例1　已知点M是△ABC的重心，则MA→＋MB→＋MC→＝________．
　　【答案】0
　　解析：设D为AB的中点，则MA→＋MB→＝2MD→，
　　又M为△ABC的重心，则MC→＝－2MD→，
　　所以MA→＋MB→＋MC→＝0.
　　（巩固训练）空间任意四个点A、B、C、D，则BA→＋CB→－CD→等于(　　)
　　A.DB→        B.AD→          C.DA→  D.AC→
　　解析：BA→＋CB→－CD→＝CB→＋BA→－CD→＝CA→－CD→＝DA→.故选C
　　例2已知在空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN→等于(　　)
　　A.12a－23b＋12c  B．－23a＋12b＋12c
　　C.12a＋12b－12c  D.23a＋23b－12c
　　解析：显然MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝－23a＋12b＋12c.
　　（巩固训练）如图，已知空间四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF→＝______(用向量a，b，c表示)．
　　【答案】：3a＋3b－5c
　　解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则
　　EF→＝EG→＋GF→＝12AB→＋12CD→＝12(a－2c)＋12(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.
　　例3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)
　　A．13       B.13         C．2        D.5
　　解析：|a＋3b|＝（a＋3b）2＝a2＋6a•b＋9b2＝1＋6×cos 60°＋9＝13.故选A
　　（巩固训练）已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a•b＋b•c＋c•a的值为________．
　　【答案】：－13
　　解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a•b＋b•c＋c•a)＝0，
　　所以a•b＋b•c＋c•a＝32＋12＋422＝－13.
　　专题二　空间向量及其坐标运算
　　例4  已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．
　　【答案】：0
　　解析：因为AB→＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC→＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，
　　则AB→∥AC→，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
　　（巩固训练）已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是(　　)
　　A．(1，1，1)  B．(－2，－3，5)
　　C．(2，－3，5)  D．(－4，6，－2)
　　解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.故选D
　　例5已知向量a＝(1， 0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
　　A．(－1，1，0)  B．(1，－1，0)
　　C．(0，－1，1)  D．(－1，0，1)
　　解析：利用向量数量积公式的变形公式cos〈a，b〉＝a•b|a||b|求向量的夹角，各项逐一验证．选项B中cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝1×12×2＝12，所以〈a，b〉＝60°.故选B
　　（巩固训练）已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB→与CA→的夹角θ的大小是________．
　　【答案】：120°
　　解析：因为AB→＝(－2，－1，3)，CA→＝(－1，3，－2)，
　　所以cos〈AB→，CA→〉＝AB→•CA→|AB→||CA→|＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）14×14＝－714＝－12，[又0°≤〈AB→，CA→〉≤180°，所以θ＝〈AB→，CA→〉＝120°.
　　专题三　利用空间向量证明平行关系
　　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法．
　　方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
　　方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
　　方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．
　　例6如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是C1C、B1C1的中点．
　　求证：MN∥平面A1BD.