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共25题，约3520字。
　　青浦区2017届九年级上学期期末考试数学试卷
　　2017.1
　　（完成时间：100分钟满分：150分）
　　考生注意：
　　1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
　　2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
　　一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
　　1. 在下列各数中，属于无理数的是（B）
　　（A）；（B）；（C）；（D）．
　　2．已知> ，下列关系式中一定正确的是（D）
　　（A）；（B）< ；（C）；（D）< ．
　　3．一次函数（常数）的图像一定不经过的象限是（A）
　　（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．
　　4. 抛物线与轴的交点坐标是（C）
　　（A）（，）；（B）（，）；（C）（，）；（D）（，）．
　　5．顺次联结矩形（非正方形）四边的中点，所得到的图形一定是（A）
　　（A）菱形；（B）矩形；（C）正方形；（D）等腰梯形．
　　6．如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD相交于点O，
　　如果，那么是（B）
　　（A）；（B）；（C）；（D）．
　　二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
　　7．函数的定义域是．
　　8．方程的根是．
　　9．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是．
　　10. 从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是．
　　11.  将抛物线向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是．
　　12.  如果点A（，）和点B（，）是抛物线上的两点，那么
　　<    ．（填“>”、“=”、“<”）
　　13.  如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是六．
　　14.  点G是△ABC的重心，GD//AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的长是4  ．
　　15.  已知在△ABC中，点D在边AC上，且．设，．那么
　　=       ．（用向量、的式子表示）
　　16.  如图2，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么的值是．
　　17.  如图3，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么=       ．
　　18．如图4，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，联结BD，如果∠DAC=∠DBA，那么的值是．
　　三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
　　19．（本题满分10分）
　　计算：．
　　解：原式= ．
　　= ．
　　= ．
　　=1．
　　20. （本题满分10分）
　　解方程组：①
　　②
　　解：由①得或．
　　原方程可化为
　　解得原方程的解是
　　21．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
　　已知：如图5，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，
　　使它经过点B（3，0），与轴交于点C．
　　（1）求平移后直线的表达式；
　　（2）求∠OBC的余切值．
　　解：（1）∵横坐标为2的点A在的图像上，∴A（2，4）．
　　∵A（2，4）在的图像上，∴．
　　设直线BC的函数解析式为，
　　由题意得，，∵B（3，0），∴．
　　（2）∵与轴交于点C，∴C（0，），∴OC=6．
　　∴．
　　22．（本题满分10分）
　　某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i= ．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）
　　（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，．）
　　解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
　　由题意，得AF⊥DC，HF = ED=1.5，EH=DF，∠AEH=37°，DC=40．
　　∵i= ，在Rt△BCF中，设BF =k，则CF = ，BC = ．
　　∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF= ．
　　∵DF= DC +CF，∴DF= ．
　　在Rt△AEH中，
　　∵，∴．
　　∵BH =BF -FH，∴BH =6 -1.5=4.5．
　　∵AB =AH -HB，∴AB =37.8 -4.5=33.3．
　　答：大楼AB的高度约为33.3米．
　　23．（本题满分12分，每小题各6分）
　　已知：如图7，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，联结CF交线段BE于点G，．
　　（1）求证：∠ACF=∠ABD；
　　（2）联结EF，求证：．
　　证明：（1）∵，∴．
　　又∵∠CGD=∠EGC，∴△GCD∽△GEC．
　　∴∠GDC=∠GCE．
　　∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC．
　　∴∠ACF=∠ABD．
　　（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，∴△BGF∽△CGE．
　　∴．
　　又∵∠FGE=∠BGC，∴△FGE∽△BGC．
　　∴．
　　∴．
　　24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
　　已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，联结BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
　　（1）求这个抛物线的表达式；
　　（2）求点P的坐标；
　　（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．
　　解：（1）∵抛物线，∴点C的坐标为（0，1）．
　　∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0）．
　　∴，∴．∴．
　　（2）过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．
　　∵∠MPC=90°-∠CPN，∠NPB=90°-∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．
　　∵PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．
　　设点P（a，a）．∵，∴．
　　解得．
　　∴P（2，2）．
　　（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），∴A（1，0）．
　　∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），
　　∴PO= ，AC= ，AB= ．
　　∵∠CAB =135°，∠POB =45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q在点O左侧．
　　（i）当时，∴，∴OQ=4，∴Q（-4，0）．
　　（ii）当时，∴，∴OQ=2，∴Q（-2，0）．
　　综上所述，点Q的坐标为（-4，0）或（-2，0）．
　　25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）
　　已知：如图9，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，．点P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合)，联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．
　　（1）求证：；
　　（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
　　（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．
　　解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
　　∴BA=BC，∠ABD＝∠CBD．
　　又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE．
　　∴AE＝CE．
　　（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，
　　垂足分别为点H、F．
　　∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
　　∵AB=5，，∴AO=OC ，BO=OD ．
　　∵，∴AH=4，BH=3．
　　∵AD∥BC，∴，∴，
　　∴，∴．
　　∵EF∥AH，∴，
　　∴．
　　∴．
　　（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．
　　（i）当∠ECP=90°时，
　　∵△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE=90°，
　　∵，
　　∴，∴BP= ．
　　（ii）当∠CEP=90°时，
　　∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB=45°，
　　∴，∴，．
　　∵AD∥BP，∴，
　　∴，∴BP= ．
　　综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为或15．