约7420字。

　　课题 立体几何中的折叠、最值、取值范围问题
　　——综合能力提升篇
　　立体几何章节在历来的高考中分值占比重，以两小一大的形式出现较多．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．
　　题型一：立体几何中的折叠问题
　　折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现．处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系．并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化．这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据．而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．
　　1．如图1，在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝2，EF＝2＋2，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2所示的四棱锥E－ABCD(E，F重合)．
　　(1)求证：BE⊥DE；
　　(2)设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．
　　【解析】(1)证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB．
　　又∵AB∩AE＝A，
　　∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE．
　　由图1和题中所给条件知，AE＝BE＝1，AB＝CD＝2，
　　∴AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥BE．
　　又∵AE∩AD＝A，
　　∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE．
　　(2)取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG．
　　则MP∥AE，GP∥CB∥DA，
　　∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE．
　　∵MP∩GP＝P，∴平面MPG∥平面DAE．
　　∵MG⊂平面MPG，
　　∴MG∥平面DAE，即存在点N与G重合满足条件．
　　2．(2015•四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N．
　　(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
　　(2)证明：直线MN∥平面BDH；
　　(3)求二面角A­EG­M的余弦值．
　　【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示．
　　(2)证明：连接AC，BD交于点O，连接OH，OM．
　　因为M，N分别是BC，GH的中点，
　　所以OM∥CD，且OM＝12CD，HN∥CD，且HN＝12CD，
　　所以OM∥HN，OM＝HN，
　　所以四边形MNHO是平行四边形，
　　从而MN∥OH．
　　又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，
　　所以MN∥平面BDH．
　　(3)方法一：过M作MP⊥AC于P．在正方体ABCD­EFGH中，AC∥EG，所以MP⊥EG．
　　过P作PK⊥EG于K，连接KM，所以EG⊥平面PKM，
　　从而KM⊥EG，所以∠PKM是二面角A­EG­M的平面角．
　　设AD＝2，则CM＝1，PK＝2．
　　在Rt△CMP中，PM＝CMsin 45°＝22．
　　在Rt△PKM中，KM＝PK2＋PM2＝322．
　　所以cos∠PKM＝PKKM＝223，即二面角A­EG­M的余弦值为223．
　　方法二：如图，以D为坐标原点，分别以DA→，DC→，DH→方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz．
　　设AD＝2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，
　　所以GE→＝(2，－2，0)，MG→＝(－1，0，2)．
　　设平面EGM的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
　　由n1•GE→＝0，n1•MG→＝0，得2x－2y＝0，－x＋2z＝0，取x＝2，得n1＝(2，2，1)．
　　在正方体ABCD­EFGH中，DO⊥平面AEGC，
　　则可取平面AEG的一个法向量为n2＝DO→＝(1，1，0)，
　　所以cos〈n1，n2〉＝n1•n2|n1|•|n2|＝2＋2＋04＋4＋1•1＋1＋0＝223，
　　故二面角A­EG­M的余弦值为223．