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　　第九节　直线与圆锥曲线
　　[备考方向要明了]
　　考 什 么 怎 么 考
　　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．
　　2.了解圆锥曲线的简单应用．
　　3.理解数形结合的思想. 直线与圆锥曲线的位置关系，是历年高考考查的重点，常以解答题形式考查，以直线与圆锥曲线的方程为基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的方程或方程组的解的讨论．如2012年广东T20等.
　　[归纳•知识整合]
　　1．直线与圆锥曲线的位置关系
　　判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
　　即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
　　(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
　　Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
　　Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
　　(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
　　[探究]　直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？
　　提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．
　　2．圆锥曲线的弦长
　　设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
　　|AB|＝1＋k2|x1－x2|
　　＝1＋k2•x1＋x22－4x1x2
　　＝ 1＋1k2•|y1－y2|＝ 1＋1k2•y1＋y22－4y1y2.
　　[自测•牛刀小试]
　　1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于(　　)
　　A.12　　　　　　　　　 B.13
　　C.14  D．4
　　解析：选C　由x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.
　　2．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是(　　)
　　A．1  B．2
　　C．1或2  D．0
　　解析：选A　因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点．
　　3．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.
　　解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝10，由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝10＋2＝12.
　　答案：12
　　4．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．
　　解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m≥1，且m≠5.
　　答案：m≥1且m≠5
　　5．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
　　解析：由c＝5－4＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y＝2(x－1)，联立方程得
　　x25＋y24＝1，y＝2x－1，解得x1＝0，x2＝53，
　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2，y2＝43.
　　∴S△＝12×1×|y1－y2|＝12×1×103＝53.
　　答案：53
　　直线与圆锥曲线的位置关系问题
　　[例1]　(1)已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y2a＝1相切，则k，a之间的关系式为________________．
　　(2)(2013•沈阳模拟)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)
　　A.－153，153　　　　　 B.0，153