约6340字。

　　3．1变化率与导数
　　3．1.1　变化率问题
　　3．1.2　导数的概念
　　函数的变化率
　　【问题导思】　
　　实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．
　　(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快．
　　1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？
　　【提示】　可以运用平均变化率来刻画．
　　2．实例(2)中，当t1≈t2时刻时，平均变化率有什么样的特点？
　　【提示】　平均变化率接近t1或t2时刻的速度．
　　1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
　　(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.
　　(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
　　(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
　　2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
　　(1)定义式：limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.
　　(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．
　　(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
　　函数f(x)在x＝x0处的导数
　　函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.
　　平均变化率的计算
　　求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？
　　【思路探究】　(1)Δx、Δy分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？
　　【自主解答】　在x＝1附近的平均变化率为
　　k1＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；
　　在x＝2附近的平均变化率为
　　k2＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；
　　在x＝3附近的平均变化率为
　　k3＝f3＋Δx－f3Δx＝3＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.
　　若Δx＝13，
　　则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.
　　由于k1＜k2＜k3，
　　故在x＝3附近的平均变化率最大．
　　1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx与函数值的增量Δy.
　　2．求函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤
　　(1)求自变量的增量：Δx＝x2－x1.
　　(2)求函数值的增量：Δy＝f(x2)－f(x1)．
　　(3)作商求函数的平均变化率：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.
　　求函数y＝sin x在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．
　　【解】　函数y＝sin x在0到π6之间的平均变化率为sinπ6－sin 0π6－0＝3π，
　　在π3到π2之间的平均变化率为sinπ2－sinπ3π2－π3＝32－3π.
　　∵2－3＜1，∴3π＞32－3π.
　　∴函数y＝sin x在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且在0到π6之间的平均变化率较大．
　　求瞬时速度
　　若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)
　　s＝3t2＋2　　　　　t≥329＋3t－32  0≤t＜3