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高中数学高一年级必修五第一章 第1.1.2节 ：余弦定理
导学案
命制学校：沙市五中 命制教师：高一数学组+k.Com]

Ａ．学习目标
继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。

Ｂ．学习重点、难点
重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；
难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
Ｃ．学法指导
探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式。通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。

D．知识链接
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了进一步的认识，在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

E．自主学习
[提出问题]
在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°.
问题1：这个三角形确定吗？
提示：确定．
问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？
提示：不能
问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？
提示：能．
∵ ＝ ＋
∴ 2＝ 2＋ 2＋2 •
＝ 2＋ 2－2  cos A
＝4＋9－2×2×3cos 60°
＝7
∴ ＝7
问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?
提示：能．
[导入新知]
余弦定理
余弦定理 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A，
b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C
余弦定理 语言叙述 三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论 cos A＝b2＋c2－a22bc，
cos B＝a2＋c2－b22ac，
cos C＝a2＋b2－c22ab


[化解疑难]
对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．

F.合作探究

已知三角形的三边解三角形
[例1]　在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.
[解]　由于a∶b∶c＝1∶3∶2，
可设a＝x，b＝3x，c＝2x.
由余弦定理的推论，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22×3x×2x＝32，故A＝30°.
同理可求得cos B＝12，cos C＝0，所以B＝60°，C＝90°.