《导数及应用》教案
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《导数及应用》教案
【切线方程】
求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程:求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程;
(2)已知切线的斜率k,求切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程 解得x0,再由点斜式写出方程;
(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程:
设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率 ,再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程
【例1】1、若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
[解析] f′(x)=sin x+xcos x,f′π2=1,即函数f(x)=xsin x+1在点x=π2处的切线的斜率是1,直线ax+2y+1=0的斜率是-a2,所以(-a2)×1=-1,解得a=2.
2、经过点(2,0)且与曲线 相切的直线方程为
解:可以验证点(2,0)不在曲线上,故设切点为 。
由 , 所以 , 得所求直线方程为: 。
由点(2,0)在直线上,得 , 再由 在曲线上,得 ,
联立可解得 , 。所求直线方程为x+y-2=0。
【变式】1、(2012•新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________.
解析:y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y=4x-3.
2、已知曲线 ,则过点 且与曲线相切的直线的方程为
【解析】)设切点坐标为 ,则: ----------------------- ------------------------------- -①
所以切线方程为: 因为P在曲线上,所以: --②
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