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专题一 集合与常用逻辑用语、不等式
第 1 讲 集合与常用逻辑用语 总序 1
考情解读 (1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，
近几年也出现一些集合的新定义问题． (2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．
热点一 集合的关系及运算
例 1 (1)已知集合 A＝ {x|x2－x－ 2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B＝________.
(2)设整数 n≥4，集合 X＝ {1,2,3， …， n}，令集合 S＝ {(x， y， z)|x， y， z∈ X，且三条件 x<y<z， y<z<x， z<x<y
恰有一个成立}．若(x， y， z)和(z， w， x)都在 S 中，则下列命题正确的是_______．
①(y， z， w)∈ S， (x， y， w)∉S； ②(y， z， w)∈ S， (x， y， w)∈ S；
③(y， z， w)∉S， (x， y， w)∈ S； ④(y， z， w)∉S， (x， y， w)∉S.
思维启迪 明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．
答案 (1){－ 1,0,1,2} (2)② 解析 (1)因为 A＝ {x|x2－ x－ 2≤0}＝ {x|－ 1 ≤x≤2}，
又因为集合 B 为整数集，所以集合 A∩B＝ {－ 1,0,1,2}．
(2)因为 (x， y， z)和(z， w， x)都在 S 中，不妨令 x＝ 2， y＝ 3， z＝ 4， w＝ 1，则 (y， z， w)＝ (3,4,1)∈ S，
(x， y， w)＝ (2,3,1)∈ S，故(y， z， w)∉S， (x， y， w)∉S 的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．
思维升华 (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注
意检验结果．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行
求解，也可利用特殊值法进行验证．
(1)已知集合 M＝ {1,2,3}， N＝ {x∈ Z|1<x<4}，则 M∩N＝ ________.
(2)已知集合 A＝ {0,1,2}，则集合 B＝ {x－y|x∈ A， y∈ A}中元素的个数是________．
答案 (1){2,3} (2)5 解析 (1)集合 N是要求在(1,4)范围内取整数，
所以 N＝ {x∈ Z|1<x<4}＝ {2,3}，所以 M∩N＝ {2,3}．考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本
不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解
求参数的值或取值范围问题． (2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．
热点一 一元二次不等式的解法
例 1 (1)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为
x|x<－1或x>12 ，则 f(10x)>0 的解集为________．
(2)已知函数 f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则 f(2－x)>0 的解集为________．
思维启迪 (1)利用换元思想，设 10x＝ t，先解 f(t)>0.(2)利用 f(x)是偶函数求 b，再解 f(2－ x)>0.
答案 (1){x|x<－ lg 2} (2){x|x<0 或 x>4} 解析 (1)由已知条件 0<10x<1
2，解得 x<lg12＝－ lg 2.
(2)由题意可知 f(－ x)＝ f(x)．即 (－ x－ 2)(－ ax＋ b)＝ (x－ 2)(ax＋ b)，化简得(2a－ b)x＝ 0 恒成立，
故 2a－ b＝ 0，即 b＝ 2a，则 f(x)＝ a(x－ 2)(x＋ 2)．又函数在(0，＋ ∞)单调递增，所以 a>0.
f(2－ x)>0 即 ax(x－ 4)>0，解得 x<0 或 x>4.
思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点， “三个二次”的相互转化体现
了转化与化归的数学思想方法．
(1)不等式 x－1
2x＋1≤0 的解集为________．
(2)已知 p： ∃x0∈ R， mx20＋ 1≤0， q： ∀x∈ R， x2＋ mx＋1>0.若 p∧ q 为真命题，则实数 m 的取值范围
是________________．
答案 (1)(－1
2， 1] (2)(－2,0)
解析 (1)原不等式等价于(x－ 1)(2x＋ 1)<0 或 x－ 1＝ 0，即－ 1
2<x<1 或 x＝ 1，所以不等式的解集为 (－ 12， 1]．
(2)p∧q 为真命题，等价于 p， q 均为真命题．命题 p 为真时， m<0；命题 q 为真时， Δ＝ m2－ 4<0，
解得－ 2<m<2.故 p∧q 为真时，－ 2<m<0.
热点二 基本不等式的应用
例 2 (1)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，
单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其解读 (1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式
出现． (2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．
热点一 函数的零点
例 1 (1)函数 f(x)＝2x＋ x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是________．
(2)已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时， f(x)＝
cos π2x－1x，， xx∈∈([021，＋， 12]，∞)， 则不等式 f(x－1)≤12的解集为________．
思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断； (2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．
答案 (1)1 (2)[1
4，
23
]∪ [
43
，
74
] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．
因为 f′(x)＝ 2xln 2＋ 3x2>0，所以函数 f(x)＝ 2x＋ x3－ 2 在(0,1)上递增，
且 f(0)＝ 1＋ 0－ 2＝－ 1<0， f(1)＝ 2＋ 1－ 2＝ 1>0，所以有 1 个零点．
(2)先画出 y 轴右边的图象， 如图所示．
∵ f(x)是偶函数， ∴图象关于 y 轴对称， ∴可画出 y 轴左边的图象，
再画直线 y＝ 1
2.设与曲线交于点 A， B， C， D，先分别求出 A， B 两点的横坐标．
令 cos πx＝ 1
2， ∵ x∈ [0， 21]， ∴ πx＝ π3， ∴ x＝ 13. 令 2x－ 1＝ 12， ∴ x＝ 34， ∴ xA＝ 31， xB＝ 43.
根据对称性可知直线 y＝ 1
2与曲线另外两个交点的横坐标为 xC＝－ 43， xD＝－ 13.
∵ f(x－ 1)≤1
2，则在直线 y＝ 12上及其下方的图象满足， ∴ 13≤x－ 1 ≤34或－ 34≤x－ 1≤－ 31， ∴ 43≤x≤74或14≤x≤23.
思维升华 函数零点 (即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定； ②零点个数
的确定； ③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零
点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(1)已知函数 f(x)＝ (1
4)x－cos x，则 f(x)在[0,2π]上的零点个数是________．
(2)已知 a 是函数 f(x)＝2x－ log1
2
x 的零点，若 0<x0<a，则 f(x0)和 0 的大小关系是_______．
答案 (1)3 (2)f(x0)<0 解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数 y＝ (1
4)x和 y＝ cos x的图象在[0,2π]上的第 1 讲 三角函数的图象与性质 总序 6
考情解读 (1)以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．
简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考
热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系
例 1 (1)点 P从(1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝ 1 逆时针方向运动2π
3 弧长到达 Q点，则
(2)已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(－4,3)，
的值为________．
答案 (1)(－1
2，
3
2 ) (2)－
34
解析 (1)设 Q 点的坐标为 (x， y)，则 x＝ cos2π
3 ＝－
12
， y＝ sin
2π
3 ＝
3
2 .所以 Q 点的坐
(2)原式＝ － sin α·sin α
－ sin α·cos α＝ tan α.根据三角函数的定义，得 tan α＝ yx＝－ 34，所以原式＝
(1)如图，以 Ox 为始边作角 α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点 P，已知
则sin 2α＋cos 2α＋1
1＋tan α ＝________.
(2)已知点 Psin 3π4 ， cos 34π落在角 θ 的终边上，且 θ∈ [0,2π)，则 θ 的值为_______
答案 (1)18
25 (2)
7π
4 解析 (1)由三角函数定义，得 cos α＝－ 35， sin α＝ 54，
∴原式＝ 2sin αcos α＋ 2cos2α
1＋
sin α
cos α
＝
2cos α(sin α＋ cos α)
sin α＋ cos α
cos α
＝ 2cos2α＝ 2×－ 352＝ 2518.
(2)tan θ＝
cos 3
4π
sin 3
4π
＝
－ cos π
4
sin π
4
＝－ 1，又 sin 3π
4 >0， cos 3π4 <0，所以 θ 为第四象限角且
热点二 函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的图象及解析式
例 2 (1)函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0， |φ|<π
2)的部分图象如图所示，
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