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共46道小题，约10890字。

　　导数专项练习卷
　　1、（本小题满分14分）
　　已知关于x的函数 .
　　（I）求函数 在点 处的切线方程；
　　（II）求函数 有极小值，试求a的取值范围；
　　（III）若在区间 上，函数 不出现在直线 的上方，试求a的最大值.
　　解：（Ⅰ）
　　又
　　所以 在点P（1,0）处的切线方程为 .　　　………………４分
　　（Ⅱ） 　　………………５分
　　令
　　(i) 时 无解， 无极小值；
　　(ii)  时， ，所以 有两解 ，且 ；
　　时 ，
　　时 ，
　　此时， 无极小值.　　　…………７分
　　(iii)  时, 因为 , 的对称轴为 ,要使函数 有极小值,则 即    或 
　　此时 有两解 ，不妨设设 ， 则  时 ，
　　时 ， 此时， 有极小值 .　　………………９分
　　综上所述， .　　　　………………10分
　　（Ⅲ）由题意，
　　即 ………………11分
　　下证：
　　记
　　则
　　时 ，
　　时 ，
　　即 　　………………12分
　　(i)  时，
　　(ii)  时，取 ，
　　则
　　与题意矛盾.
　　故 的最大值为0.   …………14分
　　2、（本小题满分14分）
　　已知关于 函数 ，
　　（I）试求函数 的单调区间；
　　（II）若 在区间 内有极值，试求a的取值范围；
　　（III） 时，若 有唯一的零点 ，试求 .
　　（注： 为取整函数，表示不超过 的最大整数，如 ；以下数据供参考： ）
　　解：（I）由题意 的定义域为
　　（i）若 ，则 在 上恒成立， 为其单调递减区间；
　　（ii）若 ，则由 得 ，
　　时， ， 时， ，
　　所以 为其单调递减区间； 为其单调递增区间；-----------------------4分
　　（II）
　　所以 的定义域也为 ，且
　　令  (*)
　　则  (**)----------------------------------------------------------------------------6分
　　时,  恒成立,所以 为 上的单调递增函数，又 ，所以在区间 内 至少存在一个变号零点 ，且 也是 的变号零点，此时 在区间 内有极值. ----------------------------------------8分
　　时 ,即在区间(0,1)上 恒成立,此时,  无极值.
　　综上所述,若 在区间 内有极值，则a的取值范围为 . --------------9分
　　(III)  ,由（II）且 知 时 ,  .
　　又由(*)及(**)式知 在区间 上只有一个极小值点,记为 , 且 时 单调递减,  时 单调递增,由题意 即为 ,
　　-----------------------------------------------------------------------------------------11分
　　消去a,得 -------------------------------------------------------------------12分
　　时令 ,
　　则在区间 上为 单调递增函数,  为单调递减函数,
　　且 
　　------------------------------------------------------------------------------------------14分
　　3、(本小题满分12分)
　　对于函数 ， ．
　　（Ⅰ）求函数 的单调区间；
　　（Ⅱ）设直线 ： 和直线 ： 分别与 和 相切， ，求证实数 满足： 或 ．
　　解：（Ⅰ） ．
　　（ⅰ）当 时，对任意 ， ，此时 的单调递增区间是 ；3分
　　（ⅱ）当 时，若 ， ；若 ， ，所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；---------------------------------6分
　　（Ⅱ）设直线 与 相切于点 ，则 ， ，联立得 ， ，从而 ．从而 ，则直线 的方程为 ．
　　设直线 与曲线 的切点为 ，则 ，