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　　第1课时　空间向量及其线性运算
　　教学过程
　　一、 问题情境
　　必修4教材第59页,有这样一个情境:湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.
　　问题1　游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示?
　　解　是向量 ,即 + = .
　　(图1)
　　(图2)
　　问题2　如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩,游客实际发生的位移是什么?还是向量吗?它与上面的位移向量相同吗?为什么?
　　生:不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内.
　　师:这就是我们今天要学习研究的内容——空间向量.(点题)
　　师:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容?用什么方法?
　　二、 数学建构
　　问题3　空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些?[1]
　　1.概念梳理
　　平面向量 空间向量
　　定义 既有大小又有方向的量
　　表示法 几何表示: 
　　字母表示:a,
　　向量的模 向量的大小
　　相等向量 方向相同且大小相等的向量
　　相反向量 方向相反且大小相等的向量
　　单位向量 模长等于1的向量
　　2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算)
　　(图1)
　　加法:a+b= + = ;
　　减法:a-b= - = ;
　　数乘:λa= (λ∈R).
　　3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律)
　　(图2)
　　(1)加法交换律:a+b=b+a;
　　(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
　　(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).
　　4.共线(平行)向量
　　(1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
　　记作:a ∥b.
　　规定:零向量与任意向量共线.
　　(2)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa.
　　三、 数学运用
　　【例1】　(教材第82页例1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.
　　(1) + ;(2) + + ;
　　(3) - - .[2] (见学生用书P49)
　　(例1)
　　[规范板书]　解　(1) + = .
　　(2)因为M是BB1的中点,所以 = .又 = ,所以 + + = + = .
　　(3) - - = - = .
　　向量 , , ,如图所示.
　　变式　(1) + +…+ =  　;
　　(2) + +…+ + =　0　.
　　[题后反思]　注意:若有多个向量参与运算,按照“尾首相接,首尾相联”的原则进行运算.
　　【例2】　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是上底面A1B1C1D1的中心.若 =m +n + ,求m,n的值.[3] (见学生用书P50)
　　(例2)
　　[处理建议]　引导学生将问题转化为向量 如何用向量 , , 表示,即可求得m,n的值.
　　[规范板书]　解　因为点E是上底面A1B1C1D1的中心,所以 = ( + )= ( + )= + .又因为 + = ,所以m=n= .
　　[题后反思]　逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法.
　　【例3】　设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知 =e1+ke2, =5e1+4e2, =-e1-2e2,且A,B,D三点共线,求实数k的值. (见学生用书P50)
　　[处理建议]　A,B,D三点共线即 =λ ,转化为向量共线问题进而求得k的值.
　　[规范板书]　解　 =5e1+4e2, =-e1-2e2,故 = + =(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.∵A,B,D三点共线,∴ =λ ,即e1+ke2=λ(6e1+6e2).∵e1,e2是不共线的向量,∴  ∴k=1.　
　　[题后反思]　点共线问题可转化为向量共线问题来求解,再充分运用向量共线的充要条件“a=λb”和向量运算法则来解题.
　　四、 课堂练习
　　1.化简: + + + =　0　.
　　2.下列等式中正确的有　⑤　.
　　①0+a=a;②0•a=0;③3•0=0;④a-a=0;⑤|0|=0.
　　3. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,G为△A1BD的重心.设 =a, =b, =c,试用a,b,c表示 .