2010-2011学年同步精品学案——空间向量与立体几何
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2010-2011学年同步精品学案—— 空间向量与立体几何
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 （三）—— 利用向量方法求距离.doc
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 （二）—— 利用向量方法求角.doc
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法.doc
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法.doc
§3.2 立体几何中的向量方法 (二)
—— 利用向量方法求角
知识点一 求异面直线所成的角
已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．
解 如图所示，
解 如图所示，
设 = a， = b， = c.
则| a | = | b | = | c | =1，
〈 a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉= 60°,
∴a·b = b·c = a·c = ，
而 = + = a + c.
= + = b + c,
∴|| ＝ ＝ ，| | ＝.
∴· ＝·
＝a·b－a·c－b·c＋c2＝，
cos〈，〉＝= ,
∴异面直线BE与CF夹角的余弦值是.
【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.
正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、
E(1,0,2)、F(1,1,2)，由＝(－1,0,2)，
＝(1，－1,2)，得|| ＝，|| ＝.
∴ ·＝－1＋0＋4＝3.
又· = ||·||·cos〈,〉
= cos〈,〉,
∴cos〈,〉=,
§3.2 立体几何中的向量方法 (一)
—— 平行与垂直关系的向量证法
§3.2 立体几何中的向量方法
知识点一 用向量方法判定线面位置关系
(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．
(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．
解 (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.
知识点二 利用向量方法证明平行问题
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明 方法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
M (0,1，)，N (,1,1)，
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是 =（，0，），
设平面A1BD的法向量是
n=（x，y，z）.
n＝(x，y，z)．
则n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又 ·n＝ (,0，)·(1，－1，－1)＝0，
知识点一 求平面的法向量
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
＝(1，－2，－4)，＝(1，－2，－4)，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．
依题意，应有n·= 0， n· = 0.
即，解得.令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.
证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面A1D1F的法向量．
证明
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0)，E，
＝. .D1＝(0,0,1)，
F，A1(1,0,1)．
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