《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学
《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第一章+三角函数（含解析）.doc
《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第二章 平面向量（含解析）.doc
《新学案》2015年春高中数学苏教版必修4名师导学：第三章 三角恒等变换（含解析）.doc
第1课时 任 意 角
教学过程
一、 问题情境
情境1:在初中,我们已经学习过的角有哪些?它们的范围是多少?[3]
情境2:在体操、跳水运动中,有“转体720°”“翻腾两周半”这样的动作名称,“720°”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720°”是怎样的一个角?[4]
二、 数学建构
(一) 生成概念
问题1 在初中,角的概念是如何定义的?
(初中平面几何中角的定义是:从一个端点出发的两条射线所组成的几何图形.这个定义形象、直观、容易理解,但它是静态的,具有一定的局限性)
问题2 体操运动中的“转体720°”是如何形成的?
(引导学生来说明这个角可由旋转的方式得到)
问题3 你能根据上面的例子,给角下一个新的具有动态意义的定义吗?
(引导学生由特殊来归纳一般,给角下一个动态性的定义)
通过师生互动,以及多媒体演示,学生亲手作图,给出角的动态性定义:
角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边,射线的端点称为角的顶点.
问题4 既然角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,那么有几种旋转方式呢?如何来区分这些不同旋转方式所得到的角呢?
(通过旋转方式的讨论,引导学生来区别旋转所得到的角,进而得到正角、负角、零角的概念)
通过讨论,结合下图(图1),给出正角、负角、零角的定义.
(图1)
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.
(二) 理解概念
1. 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩充了.
① 角有正负之分(结合图2,引导学生知道区分正、负角的关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针,还是没有转动);
② 角可以任意大;
③ 还有零角.
第1课时 向量的概念及表示
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:
湖面上有三个景点O, A, B(如图1),一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B,从景点O到景点A有一个位移,从景点A到景点B也有一个位移.
(图1)
2. 问题:
(1) 位移和距离这两个量有什么不同?
(2) 我们知道物理中的力、速度、位移等都是矢量,不同于路程、质量等,它们具有什么样的共同特征?你能举出几个具有以上特征的量吗?年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗?
二、 数学建构
(一) 生成概念
引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念.
(1) 定义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等.
(2) 向量的表示方法
1° 几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段,如 ;
2° 字母表示法:如a.
(3) 模的概念:向量 的大小称为向量的模,记作| |,模是可以比较大小的.
(4) 两个特殊的向量
1° 零向量:长度(模)为0的向量,记作0.0的方向是任意的.
2° 单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.
引导学生思考下面的问题:
观察图2,在中心为O的正六边形ABCDEF中,
(图2)
向量 与向量 , 有什么关系?
向量 与向量 有什么关系?
向量 与向量 有什么关系?
向量 , , , , 有什么关系?
(5) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a, b平行,记作a∥b.规定:0与任一向量平行.
(6) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a, b相等,记作a=b.规定:0=0.
(7) 相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
(8) 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量.
如图3, =a, =b, =c,且a∥b∥c,则向量a, b, c可以平移到一条直
第1课时 两角和与差的余弦
教学过程
一、 问题情境[1]
在实数运算中,有公式a(b+c)=ab+ac;在向量运算中,有公式a•(b+c)=a•b+a•c;在三角运算中,有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗?如果没有,式子一定不成立吗?
二、 数学建构
问题1 在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角α, β (0≤β≤α≤π),其终边分别与单位圆交于P1, P2,则向量 , 的夹角是多少? • 的值是多少?[2]
(图1)
由图1可得向量 , 的夹角是α-β, =(cosα, sinα), =(cosβ, sinβ).
一方面,由向量数量积的定义,有 • =| |•| |cos(α-β)=cos(α-β).
另一方面,由向量数量积的坐标表示,有 • =cosαcosβ+sinαsinβ.
从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 0≤β≤α≤π.
问题2 如果α, β∈R,上述公式还成立吗?[3]
当α-β∈[0, π]时, α-β就是 , 的夹角,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
对于任意的α, β,总可选适当的整数k,使α-β-2kπ∈[-π, π).记β1=β+2kπ,则β1与β的终边相同,且α-β1∈[-π, π),从而|α-β1|≤π, |α-β1|就是 , 的夹角.因此cos(|α-β1|)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
综上,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,这就是两角差的余弦公式,记为C(α-β).
问题3 cos(β-α)的展开式是什么?它与cos(α-β)展开式相等吗?为什么?
cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ,它们展开式相等.因为余
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