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共20道小题，约4350字。

　　（天津卷）2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题
　　1． 已知集合A＝{x∈||x|≤2}，B＝{x∈|x≤1}，则A∩B＝(　　)
　　A．(－∞，2]  B．[1，2]
　　C．[－2，2]  D．[－2，1]
　　1．D　[解析] A∩B＝{x∈|－2≤x≤2}∩{x∈|x≤1}＝{x∈|－2≤x≤1}．
　　2． 设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)
　　A．－7  B．－4  C．1  D．2
　　2．A　[解析] 作出可行域，如图阴影部分．
　　联立y＝3，x－y－2＝0，解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.
　　3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为(　　)
　　图1－1
　　A．64  B．73  C．512  D．585
　　3．B　[解析] 当x＝1时，S＝0＋1＝1；当x＝2时，S＝1＋23＝9；当x＝4时，S＝9＋43＝73满足题意输出．
　　4． 已知下列三个命题：
　　①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；
　　②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
　　③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切．
　　其中真命题的序号是(　　)
　　A．①②③  B．①②
　　C．①③  D．②③
　　4．C　[解析] 由球的体积公式V＝43πR3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为|0＋0＋1|1＋1＝22＝r，即直线与圆相切，③正确．
　　5．， 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点． 2，△AOB的面积为3，则p＝(　　)
　　A．1  B.32  C．2  D．3
　　5．C　[解析] 双曲线的离心率e＝ca＝a2＋b2a＝2，解得ba＝3，联立y＝－bax，x＝－p2，得y＝bp2a.又因为S△OAB＝p2×bp2a＝3，将ba＝3代入解得p＝2.
　　6． 在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
　　A.1010  B.105
　　C.31010  D.55
　　6．C　[解析] 由余弦定理得AC2＝2＋9－2×3×2×22＝5，即AC＝5，由正弦定理得3sin ∠BAC＝522，
　　解得sin ∠BAC＝3 1010.
　　7． 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
　　A．1  B．2  C．3  D．4
　　7．B　[解析] f(x)＝2x|log0.5 x|－1＝2xlog0.5 x－1，0<x≤1，－2xlog 0.5 x－1，x>1＝－2xlog2 x－1，0<x≤1，2xlog2 x－1，x>1.
　　∵f(x)＝－2xlog2x－1在(0，1]上递减且x接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有一零点；又∵f(x)＝2xlog2x－1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log2 2－1＝3>0，∴f(x)在(1，＋∞)上有一零点．故f(x)共有2个零点．
　　8． 已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A，若－12，12⊆A，则实数a的取值范围是(　　)
　　A.1－52，0
　　B.1－32，0
　　C.1－52，0∪0，1＋32
　　D．－∞，1－52
　　8．A　[解析] 方法一：排除法：当x＝0时，由f(x＋a)<f(x)可变为a(1＋a|a|)<0，易得－1<a<0，可得a的取值范围一定是(－1，0)的子集，排除C，D选项；当a＝－12时，由f(x)>f(x＋a)可解得－34<x<54，满足－12，12⊆A，可排除B选项；故答案为A.
　　方法二：直接分类：
　　易知a<0，f(x＋a)是把f(x)向右平移，且f(x)为奇函数，要使－12，12⊆A，只要使f(x)与f(x＋a)最左边的交点横坐标小于－12即可，
　　在x<0时，f(x)＝－ax2＋x，f(x＋a)＝－a(x＋a)2＋x＋a，令f(x)＝f(x＋a)，则x＝1－a22a，令1－a22a<12，可得a2＋a－1<0，故1－52<a<0.
　　9． 已知a，b∈，i是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
　　9．1＋2i　[解析] (a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，
　　∴a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2.故a＋bi＝1＋2i.