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共17道小题，约2660字。

　　2013年福建省高一数学竞赛试题
　　（考试时间：5月12日上午8：30－11：00）
　　一、选择题（每小题6分，共36分）
　　1．已知集合 ， ，则 的非空真子集有（    ）
　　A．31个       B．30个       C．15个      D．14个
　　【答案】  D     
　　【解答】由条件知， ， ， 。
　　∴   的非空真子集有 个。
　　2．给出下列四个命题：
　　① 若平面 内有不在一条直线上的三个点到平面 的距离相等，则 。
　　② 三个平面可以把空间分成七个部分。
　　③ 正方体 中与对角线 成异面直线的棱共有5条。
　　④ 若一条直线和平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
　　其中假命题的个数为（    ）
　　A． 1个       B．2个       C．3个      D．4个
　　【答案】  C       
　　【解答】易知，命题②为真命题，①、③、④为假命题
　　3．设方程 与 的根分别为 ， ，则（    ）
　　A．      B．       C．      D．
　　【答案】  A  
　　【解答】易知 是方程 的根，即 。
　　设 ，则 ， 。
　　∴   ， 。
　　4．函数 图像的对称中心是（    ）
　　A．        B．        C．       D．
　　【答案】  B     
　　【解答】设 。
　　则 。
　　∴   为奇函数， 的图像关于原点 对称。
　　∴   的图像关于点 对称。
　　5．已知从点 出发的三条射线 ， ， 两两成 角，且分别与球 相切于 ， ， 三点。若球 的体积为 ，则 ， 两点间的距离为（    ）
　　A．        B．        C．3      D．6
　　【答案】  B    
　　【解答】由条件知， ， ， ， 。设 交平面 于点 。则 ， 为 的中心，且 。
　　∴   ， 。
　　又由球 的体积为 知， ， 。
　　∴   。
　　6．已知二次函数 （ ），点 。若存在两条都过点 且互相垂直的直线 和 ，它们与二次函数 （ ）的图像都没有公共点，则 的取值范围为（    ）
　　A．        B．        C．       D．
　　【答案】  A    
　　【解答】易知 斜率存在，且不为0。设 的斜率为 ，则 的方程为 。
　　由 得， 。
　　由 与二次函数 （ ）的图像没有公共点知， 。
　　同理，由 与二次函数 （ ）的图像没有公共点知， 。
　　由 ，得 ；
　　由 ，得 ， 或 。
　　依题意，方程组 有解。
　　∵  方程组 无解  ，解得 。
　　∴  方程组 有解  。故， 的取值范围为 。
　　二、填空题（每小题6分，共36分）
　　7．已知 的顶点 、 在直线 ： 上，点 的坐标为 。若 重心 的坐标为 ，则              。
　　【答案】  
　　【解答】依题意有 ， 。
　　∴   ， 。
　　设 中点为 ，则点 的坐标为 。
　　将点 的坐标 代入直线 ： 的方程，得 。
　　∴   。
　　8．已知 是棱长为2的正方体，点 是底面 的中心， 是棱 的中点。则四面体 的体积为               。
　　【答案】  1  
　　【解答】由正方体的性质知， ，且 。
　　∴   与 延长后相交，设交点为 ，由 是棱 的中点知， 。
　　∴   。
　　∴  四面体 的体积为1。
　　9．已知函数 满足：（1）对任意的实数 ， ；（2）对任意的实数 ， ；（3）当 时， 。若关于 的方程 （ ，且 ）在区间 内恰有6个不同的实根，则 的取值范围为                 。