《二项式定理》复习教案1
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约1940字。
二项式定理
知识网络结构
1．二项式定理
（1）二项式定理
※
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
（2）二项式系数、二项式的通项
在※式中它的右边的多项式叫做 的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：
（3）二项式展开式的各项幂指数
二项式 的展开式项数为 项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数n．
②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．
（4）几点注意
①通项 是 的展开式的第 项，这里
②二项式 的 项和 的展开式的第 项 有是区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．
③注意二项式系数（ ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项公式是 （只须把－b看成b代入二项式定理）这与 是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是 但项的系数一个是 ，一个是 ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设 ，则得公式： ．
2．二项式系数的性质
（1）杨辉三角形： 对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算。
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
（2）二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是： ，从函数的角度看 可以看成是r为自变量的函数 ，其定义域是： ．
当 时， 的图象为下图．
这样我们利用“杨辉三角”和 时 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如 …），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时， 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
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